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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
7.4.2 Relation entre la marge de phase et le dépassement en boucle
fermée pour un système du second ordre
L’objectif consiste ici, à l’instar de la relation mise en évidence au paragraphe 7.3.2 entre le temps de montée
en boucle fermée et la pulsation de coupure à 0 dB du système en boucle ouverte, à établir une relation entre
le dépassement en boucle fermée et la marge de phase qui, rappelons-le, est un paramètre significatif de la
stabilité en boucle fermée mais que l’on obtient à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte.
Si :
G( p) =
K
p
2
v 2
n
+
2jp
v n
+ 1
,
alors :
G( jv) =
K
1 −
v
2
v 2
n
+
2jjv
v n
La marge de phase étant définie par :
Dw = p + w(v c0 )
et sachant que :
v c0 ≈ v n
√
K + 1
on a :
Dw = p + arg G( jv c0 ) = p + arg
K
−K + 2jj
√
K + 1
soit :
Dw = arctan
2j
√
K + 1
K
Si K est grand devant 1, on peut proposer une approximation de cette marge de phase en effectuant un
développement limité à l’ordre 1 de la fonction arctangente :
Dw ≈
2j
√
K
Rappelons que cette marge de phase est naturellement exprimée en radians, mais qu’on peut la convertir en
degrés :
Dw
◦
≈
2j
√
K
×
180
p
≈ 115 ×
j
√
K
Or :
j BF =
j
√
K + 1
Si K 1,
j BF ≈
j
√
K
Nous retiendrons de ces deux résultats, que le facteur d’amortissement en boucle fermée est du même ordre
de grandeur que la marge de phase exprimée en degrés et divisée par 100 :
j BF ≈
Dw
◦
100