7.4 Limitation du dépassement
135
Si K 1, ce qui est le cas le plus fréquemment rencontré, on a :
G(v n
√
K + 1) ≈ 1
Autrement dit, la pulsation propre du système en boucle fermée est très proche de la valeur de la pulsation
de coupure à 0 dB :
v nBF = v n
√
K + 1 ≈ v c0
Par conséquent :
t m ≈
3
v c0
Il s’agit là d’un résultat fort intéressant : rappelons que t m est le temps de montée en boucle fermée et que
v c0 est la pulsation de coupure à 0 dB du système en boucle ouverte.
Ce résultat nous montre qu’il est possible d’estimer la valeur du temps de montée en boucle fermée à
partir d’une des caractéristiques fréquentielles du système en boucle ouverte.
Remarque : Nous parlons d’estimation et non pas de calcul du temps de montée, cette expression
n’étant vraie que pour K grand devant 1 d’une part, et pour des valeurs de j BF voisines de 0,65 (voir
figure 7.5) puisque c’est en j BF = 0,65 que la fonction v nBF t m = f (j BF ) est égale à 3. Toutefois, nous
retiendrons que cette équation permet d’obtenir l’ordre de grandeur du temps de montée en boucle
fermée et que cet ordre de grandeur est souvent suffisant pour évaluer la rapidité du système.
7.3.3 Généralisation
Pour tout système linéaire d’ordre quelconque présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre,
nous conserverons cette estimation de l’ordre de grandeur du temps de montée en boucle fermée :
t m ≈
3
v c0
Remarque : Pour que cette estimation soit utilisable, il faut bien évidemment que la notion de temps
de montée puisse être définie, donc que la réponse indicielle du système présente effectivement un
dépassement.
Bien retenir, par ailleurs, que v nBF ≈ v c0
7.4
LIMITATION DU DÉPASSEMENT
7.4.1 Dépassement pour un système du second ordre
Pour un système du second ordre de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) telle que :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
la valeur du dépassement en boucle fermée exprimé en pourcentage de la valeur finale de la réponse indicielle, dans le cas, bien sûr, où j BF < 1, a pour expression :
d % = 100 × e
−
pj BF
√
1−j 2
BF
Ce résultat a été démontré au chapitre 4, dans l’exercice 4.4 et nous savons déjà que ce dépassement est
d’autant plus important que j est faible.
135
Si K 1, ce qui est le cas le plus fréquemment rencontré, on a :
G(v n
√
K + 1) ≈ 1
Autrement dit, la pulsation propre du système en boucle fermée est très proche de la valeur de la pulsation
de coupure à 0 dB :
v nBF = v n
√
K + 1 ≈ v c0
Par conséquent :
t m ≈
3
v c0
Il s’agit là d’un résultat fort intéressant : rappelons que t m est le temps de montée en boucle fermée et que
v c0 est la pulsation de coupure à 0 dB du système en boucle ouverte.
Ce résultat nous montre qu’il est possible d’estimer la valeur du temps de montée en boucle fermée à
partir d’une des caractéristiques fréquentielles du système en boucle ouverte.
Remarque : Nous parlons d’estimation et non pas de calcul du temps de montée, cette expression
n’étant vraie que pour K grand devant 1 d’une part, et pour des valeurs de j BF voisines de 0,65 (voir
figure 7.5) puisque c’est en j BF = 0,65 que la fonction v nBF t m = f (j BF ) est égale à 3. Toutefois, nous
retiendrons que cette équation permet d’obtenir l’ordre de grandeur du temps de montée en boucle
fermée et que cet ordre de grandeur est souvent suffisant pour évaluer la rapidité du système.
7.3.3 Généralisation
Pour tout système linéaire d’ordre quelconque présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre,
nous conserverons cette estimation de l’ordre de grandeur du temps de montée en boucle fermée :
t m ≈
3
v c0
Remarque : Pour que cette estimation soit utilisable, il faut bien évidemment que la notion de temps
de montée puisse être définie, donc que la réponse indicielle du système présente effectivement un
dépassement.
Bien retenir, par ailleurs, que v nBF ≈ v c0
7.4
LIMITATION DU DÉPASSEMENT
7.4.1 Dépassement pour un système du second ordre
Pour un système du second ordre de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) telle que :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
la valeur du dépassement en boucle fermée exprimé en pourcentage de la valeur finale de la réponse indicielle, dans le cas, bien sûr, où j BF < 1, a pour expression :
d % = 100 × e
−
pj BF
√
1−j 2
BF
Ce résultat a été démontré au chapitre 4, dans l’exercice 4.4 et nous savons déjà que ce dépassement est
d’autant plus important que j est faible.