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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
Elle correspond à :
v nBF t m =
p − arctan
1 − j 2
BF
j BF
1 − j 2
BF
Cette expression peut, de prime abord, paraître ésotérique, mais l’étude de la fonction v nBF t m = f (j BF )
pour j BF variant de 0 à 1 peut nous être très utile pour mettre en évidence ce qui est sans doute l’un des
résultats les plus intéressants de l’automatique des systèmes linéaires. Cette étude nous conduit au graphe
de la figure 7.5.
Figure 7.5 Temps de montée en fonction du facteur d’amortissement.
L’analyse de cette fonction nous montre que pour les valeurs courantes du facteur d’amortissement
(entre 0,2 et 0,8), on a :
2 < v nBF t m < 4
Nous retiendrons de cet encadrement, une valeur approchée de v nBF t m :
v nBF t m = 3
Pour percevoir l’intérêt de cette équation, notons que v nBF , définie comme la pulsation propre en boucle
fermée, est égale à :
v nBF = v n
√
K + 1
où v n représente la pulsation propre du système en boucle ouverte. Or, si l’on considère à nouveau la
fonction de transfert en boucle ouverte, nous avons :
G( jv) =
K
1 −
v
2
v
2
n
+
2jjv
v n
⇒ G(v) =
K
1 −
v 2
v
2
n
2
+
4j 2 v 2
v
2
n
Calculons la valeur de ce gain réel en boucle ouverte pour la pulsation v = v n
√
K + 1 :
G(v n
√
K + 1) =
K
(1 − K + 1)
2 + 4j 2 (K + 1)