7.3 Rapidité des systèmes régulés
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7.3.2 Temps de montée d’un système du second ordre
Considérons un système du second ordre de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placé dans une
boucle de régulation à retour unitaire, avec :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
Calculons la fonction de transfert en boucle fermée de ce système :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p 2
v
2
n
+
2jp
vn + 1 + K
soit :
H( p) =
K
K + 1
p
2
(1 + K)v 2
n
+
2jp
(1 + K)v n
+ 1
Cette fonction de transfert en boucle fermée possède une forme similaire à la celle de la fonction de transfert
en boucle ouverte.
Il est donc possible d’utiliser les résultats de l’étude menée au chapitre 4 à propos de l’étude indicielle
des systèmes du second ordre, à condition de poser :
K BF =
K
K + 1
, défini comme le gain statique en boucle fermée ;
v nBF = v n
√
K + 1, définie comme la pulsation propre en boucle fermée ;
j BF =
j
√
K + 1
, facteur d’amortissement en boucle fermée.
On a alors :
H( p) =
K BF
p
2
v 2
nBF
+
2j BF p
v nBF
+ 1
Plaçons un échelon à l’entrée du système en boucle fermée.
On a alors :
S( p) =
1
p
K BF
p
2
v 2
nBF
+
2j BF p
v nBF
+ 1
Si l’on doit définir un temps de montée, il faut bien sûr que le phénomène de dépassement se produise, donc
que j BF < 1. Nous pouvons alors appliquer le résultat obtenu au chapitre 4 :
s(t) = K BF −
K BF
1 − j
2
BF
e
−vnBFt
⎡
⎣ sin
⎛
⎝ v nBF
1 − j
2
BF t + arctan
1 − j
2
BF
j BF
⎞
⎠
⎤
⎦
On peut alors calculer le temps de montée en résolvant l’équation :
s(t m ) = K BF
La plus petite valeur obtenue nous donne l’expression du temps de montée.