7.3 Rapidité des systèmes régulés
131
Nous en déduisons qu’il n’est pas possible d’astreindre un système possédant un gain statique K en
boucle ouverte, à une bonne précision en boucle fermée dans le cas d’une consigne variant dans le temps.
c) Erreur de vitesse d’un système comportant un ou plusieurs pôles nuls
Notre système possède toujours une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans une boucle à
retour unitaire, mais cette fois-ci, avec :
G( p) =
K
p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Le paramètre a est un entier positif non nul.
La fonction de transfert en boucle fermée est égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
1
p
1 −
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ v = lim
p→0
1
p
1 −
K
K + p a
= lim
p→0
1
p
p
a
K + p a
= lim
p→0
p
a−1
K + p a
Si a = 1, on a :
´ v = lim
p→0
1
K + p a
=
1
K
Si a > 1, on a :
´ v = lim
p→0
p
K + p a
= 0
Cela revient à dire que pour qu’un système possède en boucle fermée une erreur de vitesse nulle, donc une
parfaite précision lorsqu’il est soumis à une consigne variable, il faut que sa fonction de transfert en boucle
ouverte possède au moins un pôle nul double, autrement dit un terme en p
2 au dénominteur de G( p). On
peut aussi dire que la fonction de transfert en boucle ouverte possède deux intégrateurs.
Dans le cas où G( p) ne possède qu’un seul pôle nul, l’erreur de vitesse est non nulle.
7.3
RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
7.3.1 Définitions
a) Temps de réponse
Bien qu’en théorie, les systèmes linéaires soient caractérisés par des régimes transitoires de durées infinies,
il est possible d’estimer leur durée « pratique » grâce à la notion de temps de réponse, défini comme le
temps mis pour atteindre la valeur finale de la sortie à un certain pourcentage près.
Considérons le système bouclé représenté sur la figure 7.3.
Soumis à une consigne en échelon, le système, supposé stable, répond par un signal qui tend vers une
valeur finie que nous noterons s ∞ . On définit alors le temps de réponse à x % près par :
∀t > t rx % , (1 − x/100)s ∞ < s(t) < (1 + x/100)s ∞
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Nous en déduisons qu’il n’est pas possible d’astreindre un système possédant un gain statique K en
boucle ouverte, à une bonne précision en boucle fermée dans le cas d’une consigne variant dans le temps.
c) Erreur de vitesse d’un système comportant un ou plusieurs pôles nuls
Notre système possède toujours une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans une boucle à
retour unitaire, mais cette fois-ci, avec :
G( p) =
K
p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Le paramètre a est un entier positif non nul.
La fonction de transfert en boucle fermée est égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
1
p
1 −
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ v = lim
p→0
1
p
1 −
K
K + p a
= lim
p→0
1
p
p
a
K + p a
= lim
p→0
p
a−1
K + p a
Si a = 1, on a :
´ v = lim
p→0
1
K + p a
=
1
K
Si a > 1, on a :
´ v = lim
p→0
p
K + p a
= 0
Cela revient à dire que pour qu’un système possède en boucle fermée une erreur de vitesse nulle, donc une
parfaite précision lorsqu’il est soumis à une consigne variable, il faut que sa fonction de transfert en boucle
ouverte possède au moins un pôle nul double, autrement dit un terme en p
2 au dénominteur de G( p). On
peut aussi dire que la fonction de transfert en boucle ouverte possède deux intégrateurs.
Dans le cas où G( p) ne possède qu’un seul pôle nul, l’erreur de vitesse est non nulle.
7.3
RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
7.3.1 Définitions
a) Temps de réponse
Bien qu’en théorie, les systèmes linéaires soient caractérisés par des régimes transitoires de durées infinies,
il est possible d’estimer leur durée « pratique » grâce à la notion de temps de réponse, défini comme le
temps mis pour atteindre la valeur finale de la sortie à un certain pourcentage près.
Considérons le système bouclé représenté sur la figure 7.3.
Soumis à une consigne en échelon, le système, supposé stable, répond par un signal qui tend vers une
valeur finie que nous noterons s ∞ . On définit alors le temps de réponse à x % près par :
∀t > t rx % , (1 − x/100)s ∞ < s(t) < (1 + x/100)s ∞