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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
7.2.2 Erreur de vitesse ou erreur de traînage
a) Définition
Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) et de fonction de transfert en boucle
fermée H( p).
On appelle erreur de vitesse (ou erreur de traînage) du système en boucle fermée, le paramètre ´ v défini
par :
´ v = lim
t→+∞
´(t) lorsque e(t) = t, rampe unitaire
En invoquant le théorème de la valeur finale, on a :
´ v = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p [E( p) − S( p)] = lim
p→0
p [E( p) − H( p)E( p)]
Puisque l’entrée est une rampe unitaire :
´ v = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p [E( p) − H( p)E( p)] = lim
p→0
p
1
p 2 −
H( p)
p 2
Soit :
´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
L’erreur de vitesse est le second paramètre qui permet d’évaluer la précision d’un système en boucle fermée.
Il se différencie de l’erreur de position par le fait qu’il permet de chiffrer l’aptitude d’un système à fournir
une réponse qui suit le plus précisément possible une consigne qui varie dans le temps (cas général des
asservissements), tandis que l’erreur de position évalue son aptitude à se conformer à une consigne constante
(cas particulier de la régulation). Plus ´ v est faible, meilleure est la précision du système dans le cas d’une
consigne variable.
Remarque : Un système peut très bien posséder une très bonne précision statique (erreur de position
faible voire nulle), donc être tout à fait apte à être régulé de manière précise, mais avoir une erreur de
vitesse importante, autrement dit être tout à fait inapte à répondre correctement à une consigne variable
dans le temps.
b) Erreur de vitesse d’un système de gain statique K en boucle ouverte
Formulons l’hypothèse qu’un système possède une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans
une boucle à retour unitaire, avec :
G( p) =
K
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
La fonction de transfert en boucle fermée est égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent : ´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
1
p
1 −
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ v → +∞
L’erreur de vitesse en boucle fermée d’un système possédant un gain statique K en boucle ouverte est
infinie.
7 • Performances des systèmes linéaires asservis
7.2.2 Erreur de vitesse ou erreur de traînage
a) Définition
Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) et de fonction de transfert en boucle
fermée H( p).
On appelle erreur de vitesse (ou erreur de traînage) du système en boucle fermée, le paramètre ´ v défini
par :
´ v = lim
t→+∞
´(t) lorsque e(t) = t, rampe unitaire
En invoquant le théorème de la valeur finale, on a :
´ v = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p [E( p) − S( p)] = lim
p→0
p [E( p) − H( p)E( p)]
Puisque l’entrée est une rampe unitaire :
´ v = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p [E( p) − H( p)E( p)] = lim
p→0
p
1
p 2 −
H( p)
p 2
Soit :
´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
L’erreur de vitesse est le second paramètre qui permet d’évaluer la précision d’un système en boucle fermée.
Il se différencie de l’erreur de position par le fait qu’il permet de chiffrer l’aptitude d’un système à fournir
une réponse qui suit le plus précisément possible une consigne qui varie dans le temps (cas général des
asservissements), tandis que l’erreur de position évalue son aptitude à se conformer à une consigne constante
(cas particulier de la régulation). Plus ´ v est faible, meilleure est la précision du système dans le cas d’une
consigne variable.
Remarque : Un système peut très bien posséder une très bonne précision statique (erreur de position
faible voire nulle), donc être tout à fait apte à être régulé de manière précise, mais avoir une erreur de
vitesse importante, autrement dit être tout à fait inapte à répondre correctement à une consigne variable
dans le temps.
b) Erreur de vitesse d’un système de gain statique K en boucle ouverte
Formulons l’hypothèse qu’un système possède une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans
une boucle à retour unitaire, avec :
G( p) =
K
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
La fonction de transfert en boucle fermée est égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent : ´ v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
1
p
1 −
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ v → +∞
L’erreur de vitesse en boucle fermée d’un système possédant un gain statique K en boucle ouverte est
infinie.