7.2 Précision d’un système asservi
129
La fonction de transfert en boucle fermée est donc égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ p = lim
p→0
[1 − H( p)] = lim
p→0
1 −
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ p = 1 −
K
1 + K
=
1
K + 1
L’erreur de position en boucle fermée d’un système possédant un gain statique K en boucle ouverte est
égale à ´ p =
1
K + 1
.
Nous pouvons en conclure que la précision est d’autant meilleure que le gain statique est important.
Remarque : Ce résultat, bien qu’intéressant, possède néanmoins un côté inquiétant : nous savons déjà
qu’une bonne stabilité est souvent associée à un gain statique en boucle ouverte relativement faible.
Il va sans doute être difficile de concilier les problèmes de stabilité avec des contraintes de précision,
tout du moins, tant que nous n’aurons pas étudié le chapitre 8 qui nous montrera comment corriger
les systèmes pour qu’ils satisfassent à un ensemble de spécificités qui, pour le moment, peuvent nous
paraître contradictoires.
c) Erreur de position d’un système comportant un ou plusieurs pôles nuls
Notre système possède toujours une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans une boucle à
retour unitaire, mais cette fois-ci, avec :
G( p) =
K
p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Le paramètre a est un entier positif non nul.
La fonction de transfert en boucle fermée est donc égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ p = lim
p→0
[1 − H( p)] = lim
p→0
1 −
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ p = 1 −
K
K
= 0
L’erreur de position en boucle fermée d’un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte
comporte au moins un pôle nul, est nulle.
Cela revient à dire que de tels systèmes sont caratérisés par une précision statique parfaite. De tels
systèmes sont également appelés : « systèmes comportant au moins un intégrateur dans la fonction de
transfert en boucle ouverte ».
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La fonction de transfert en boucle fermée est donc égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ p = lim
p→0
[1 − H( p)] = lim
p→0
1 −
K
1 + K + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ p = 1 −
K
1 + K
=
1
K + 1
L’erreur de position en boucle fermée d’un système possédant un gain statique K en boucle ouverte est
égale à ´ p =
1
K + 1
.
Nous pouvons en conclure que la précision est d’autant meilleure que le gain statique est important.
Remarque : Ce résultat, bien qu’intéressant, possède néanmoins un côté inquiétant : nous savons déjà
qu’une bonne stabilité est souvent associée à un gain statique en boucle ouverte relativement faible.
Il va sans doute être difficile de concilier les problèmes de stabilité avec des contraintes de précision,
tout du moins, tant que nous n’aurons pas étudié le chapitre 8 qui nous montrera comment corriger
les systèmes pour qu’ils satisfassent à un ensemble de spécificités qui, pour le moment, peuvent nous
paraître contradictoires.
c) Erreur de position d’un système comportant un ou plusieurs pôles nuls
Notre système possède toujours une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans une boucle à
retour unitaire, mais cette fois-ci, avec :
G( p) =
K
p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Le paramètre a est un entier positif non nul.
La fonction de transfert en boucle fermée est donc égale à :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Par conséquent :
´ p = lim
p→0
[1 − H( p)] = lim
p→0
1 −
K
K + p a
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
´ p = 1 −
K
K
= 0
L’erreur de position en boucle fermée d’un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte
comporte au moins un pôle nul, est nulle.
Cela revient à dire que de tels systèmes sont caratérisés par une précision statique parfaite. De tels
systèmes sont également appelés : « systèmes comportant au moins un intégrateur dans la fonction de
transfert en boucle ouverte ».