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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
Figure 7.2 Réponse d’un système à une consigne en échelon.
7.2
PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
7.2.1 Erreur statique ou erreur de position
a) Définition
Soit un système bouclé de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) et de fonction de transfert en boucler
fermée H( p).
On appelle erreur statique (ou erreur de position) du système en boucle fermée, le paramètre ´ p défini
par :
´ p = lim
t→+∞
´(t) lorsque e(t) = u(t), échelon unitaire
En invoquant le théorème de la valeur finale, on a :
´ p = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p [E( p) − S( p)] = lim
p→0
p [E( p) − H( p)E( p)]
Puisque l’entrée est un échelon unitaire, on a :
´ p = lim
p→0
p´( p) = lim
p→0
p
1
p
−
H( p)
p
Soit :
´ p = lim
p→0
[1 − H( p)]
Cette erreur de position est un des paramètres qui permet d’évaluer la précision d’un système en boucle
fermée. Plus ´ p est faible, meilleure est la précision du système.
b) Erreur de position d’un système de gain statique K en boucle ouverte
Formulons l’hypothèse qu’un système possède une fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placée dans
une boucle à retour unitaire, avec :
G( p) =
K
1 + a 1 p + a 2 p 2 + · · · + a n p n
Nous avons affaire à un système de gain statique K, étant donné que :
lim
v→0
G(v) = lim
p→0
G( p) = K