Solutions des exercices
125
Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité :
1
300
30
K
9000 − K
0
K
0
Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si
K < 9000.
Pour disposer d’une marge de gain égale à 6 dB, il faut avoir :
DG = −20 log G(v p) = 6 dB avec w (vp) = −p
On a :
w(vp) = −3 arctan
vp
10
= −p
soit :
arctan
vp
10
=
p
3
⇒ vp = 17,3 rad/s
On a donc :
G(vp) =
K
v 2 p + 100
3 =
K
8000
d’où :
DG = −20 log G(vp) = −20 log
K
8000
= −20 log K + 78 dB
Il est donc aisé de déterminer la valeur de K qui permet d’obtenir une marge de gain égale à 6 dB :
DG = 6 dB ⇒ −20 log K = −72 dB
K = 3981
Calculons à présent la marge de phase correspondant à cette valeur du gain.
On a :
G(vc0) =
3981
v
2
c0 + 100
3 = 1
d’où :
v
2
c0 + 100 = 15,85 ⇒ vc0 = 12,3 rad/s
On a donc :
Dw = p + w(vc0) = p − 3 arctan
vc0
10
= 0,48 rad = 27
◦
Traçons à présent le diagramme de Bode du système. Pour v → 0, on a :
G( p) ≈
K
1000
⇒ G(v) ≈
K
1000
≈ 3,98
Soit un gain statique de 20 log 3,98 = 12 dB.
Le diagramme de Bode de gain est donc constitué d’un premier segment horizontal, à 12 dB, valable jusqu’à la pulsation
de coupure v = 10 rad/s. Au delà de cette pulsation, la pente est décrémentée de 3 unités, autrement dit, passe à
−60 dB/décade. Pour tracer ce segment avec précision, il suffit de remarquer qu’il passe par le point (100, −48 dB).
Le diagramme de phase asymptotique se déduit des pentes du diagramme de gain et les deux diagrammes réels peuvent
facilement être esquissés, voire tracés avec précision compte tenu de la simplicité de la fonction de transfert en boucle
ouverte.
Il est alors facile de repérer la pulsation vc0, point de concours du diagramme de gain réel avec l’axe des abscisses. La
marge de phase se mesure alors, pour cette pulsation vc0, dans le diagramme de phase : il s’agit de l’écart entre −p et
la valeur du déphasage w (vc0).
125
Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité :
1
300
30
K
9000 − K
0
K
0
Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si
K < 9000.
Pour disposer d’une marge de gain égale à 6 dB, il faut avoir :
DG = −20 log G(v p) = 6 dB avec w (vp) = −p
On a :
w(vp) = −3 arctan
vp
10
= −p
soit :
arctan
vp
10
=
p
3
⇒ vp = 17,3 rad/s
On a donc :
G(vp) =
K
v 2 p + 100
3 =
K
8000
d’où :
DG = −20 log G(vp) = −20 log
K
8000
= −20 log K + 78 dB
Il est donc aisé de déterminer la valeur de K qui permet d’obtenir une marge de gain égale à 6 dB :
DG = 6 dB ⇒ −20 log K = −72 dB
K = 3981
Calculons à présent la marge de phase correspondant à cette valeur du gain.
On a :
G(vc0) =
3981
v
2
c0 + 100
3 = 1
d’où :
v
2
c0 + 100 = 15,85 ⇒ vc0 = 12,3 rad/s
On a donc :
Dw = p + w(vc0) = p − 3 arctan
vc0
10
= 0,48 rad = 27
◦
Traçons à présent le diagramme de Bode du système. Pour v → 0, on a :
G( p) ≈
K
1000
⇒ G(v) ≈
K
1000
≈ 3,98
Soit un gain statique de 20 log 3,98 = 12 dB.
Le diagramme de Bode de gain est donc constitué d’un premier segment horizontal, à 12 dB, valable jusqu’à la pulsation
de coupure v = 10 rad/s. Au delà de cette pulsation, la pente est décrémentée de 3 unités, autrement dit, passe à
−60 dB/décade. Pour tracer ce segment avec précision, il suffit de remarquer qu’il passe par le point (100, −48 dB).
Le diagramme de phase asymptotique se déduit des pentes du diagramme de gain et les deux diagrammes réels peuvent
facilement être esquissés, voire tracés avec précision compte tenu de la simplicité de la fonction de transfert en boucle
ouverte.
Il est alors facile de repérer la pulsation vc0, point de concours du diagramme de gain réel avec l’axe des abscisses. La
marge de phase se mesure alors, pour cette pulsation vc0, dans le diagramme de phase : il s’agit de l’écart entre −p et
la valeur du déphasage w (vc0).