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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
6.6 La condition sur la marge de phase s’exprime ainsi :
Dw = p + w(vc0) =
p
4
Or :
G( jv) =
K
jv (jv + 100)
2
⇒ w(v) = −
p
2
− 2 arctan
v
100
On a donc :
p + w(vc0) = p −
p
2
− 2 arctan
vc0
100
=
p
4
d’où :
2 arctan
vc0
100
=
p
4
⇒ vc0 = 100 tan
p
8
= 41,4 rad/s
Or vc0 est tel que :
G(vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 10 4
= 1 ⇒ K = 485 · 10
3
En conclusion, on obtient une marge de phase Dw > 45
◦ pour K < 485 · 10
3 .
Calculons à présent la marge de gain. Par définition :
DG = −20 log G(vp) avec w (vp) = −p
On a :
w(vp) = −
p
2
− 2 arctan
vp
100
= −p
soit :
arctan
vp
100
=
p
4
⇒ vp = 100 rad/s
On a donc :
G(vp) =
K
vp
v 2 p + 10 4
=
K
2 · 10 6
d’où :
DG = −20 log G(vp) = −20 log
K
2 · 10 6 = −20 log K + 126 dB
Il est donc aisé de déterminer la condition sur K pour obtenir une marge de gain supérieure à 6 dB :
DG > 6 dB ⇒ −20 log K > −120 dB
log K < 6 ⇒ K < 10
6
Comme les deux conditions Dw > 45
◦ et DG > 6 dB doivent être simultanément vérifiée, il nous faut choisir la
condition la plus restrictive sur K :
K < 485 · 10
3
6.7 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée :
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 10)
3 + K
Le dénominateur de la fonction de transfert a pour expression :
D( p) = (p + 10)
3 + K = p
3 + 30 p
2 + 300p + K