Solutions des exercices
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Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si K < 8.
Pour disposer d’une marge de phase égale à 45
◦ , il faut avoir :
Dw = p + w(vc0) =
p
4
Or :
G( jv) =
K
(jv + 1)
3
⇒ w(v) = −3 arctan v
On a donc :
p + w(vc0) = p − 3 arctan vc0 =
p
4
d’où :
3 arctan vc0 =
3p
4
⇒ vc0 = tan
p
4
= 1 rad/s
Or vc0 est tel que :
G(vc0) =
K
v
2
c0 + 1
3 = 1 ⇒ K =
√
2
3
= 2,8
En conclusion, on obtient une marge de phase Dw = 45
◦ pour K = 2,8.
6.5 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée :
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p (p + 3)
2 + K
Le dénominateur de la fonction de transfert a pour expression :
D( p) = p (p + 3)
2 + K = p
3 + 6 p
2 + 9p + K
Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité :
1
9
6
K
54 − K 0
K
0
Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si K < 54.
Pour disposer d’une marge de phase égale à 45
◦ , il faut avoir :
Dw = p + w(vc0) =
p
4
Or :
G( jv) =
K
jv (jv + 3)
2
⇒ w(v) = −
p
2
− 2 arctan
v
3
On a donc :
p + w(vc0) = p −
p
2
− 2 arctan
vc0
3
=
p
4
d’où :
2 arctan
vc0
3
=
p
4
⇒ vc0 = 3 tan
p
8
= 1,24 rad/s
Or vc0 est tel que :
G(vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 9
= 1 ⇒ K = 13
En conclusion, on obtient une marge de phase Dw = 45
◦ pour K = 13.