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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
De toute évidence :
2
vn
j 2 − (1 + K) <
2j
vn
Par conséquent, les deux pôles p1 et p2 sont toujours strictement négatifs. Dans ce cas, le système est donc toujours
stable en boucle fermée.
Si j
2 − (1 + K) = 0, D = 0 et la fonction de transfert H( p) possède alors un pôle réel double ayant pour expression :
p1 =
−
2j
vn
2
v
2
n
= −jvn
Ce pôle est toujours négatif. Par conséquent le système est toujours stable en boucle fermée.
Si j
2 − (1 + K) < 0, D < 0 et la fonction de transfert H( p) possède alors deux pôles complexes conjugués ayant pour
expressions :
p 1/2 =
−
2j
vn
± j
2
vn
(1 + K) − j 2
2
v
2
n
La partie réelle de ces deux pôles est toujours négative. Le système est donc stable en boucle fermée.
En conclusion, quels que soient les cas étudiés, le système proposé est toujours stable en boucle fermée.
6.3 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée :
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p (p + 1) (p + 2) + K
Le dénominateur de la fonction de transfert a pour expression :
D( p) = p (p + 1) (p + 2) + K = p
3 + 3 p
2 + 2p + K
Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité :
1
2
3
K
6 − K 0
K
0
Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si K < 6.
6.4 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée :
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 1)
3 + K
Le dénominateur de la fonction de transfert a pour expression :
D( p) = (p + 1)
3 + K = p
3 + 3 p
2 + 3p + 1 + K
Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité :
1
3
3
K + 1
8 − K
3
0
K
0