Solutions des exercices
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6.7 Mise en évidence des marges sur les diagrammes de Bode
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
(p + 10)
3
avec K > 0
Déterminer la valeur de K qui assure au système une marge de gain égale à 6 dB. Calculer la marge de
phase pour cette valeur de K. Tracer les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte en y faisant
apparaître ces marges.
6.8 Réglage de la pulsation de coupure à 0 dB
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 10)
2
avec K > 0
Déterminer la valeur de K qui permet d’obtenir une pulsation de coupure à 0 dB égale à :
v c0 = 20 rad/s
Déterminer la valeur de la marge de phase pour cette valeur de K.
SOLUTIONS
6.1 La stabilité peut ici être facilement étudiée par le calcul de l’unique pôle de la fonction de transfert en boucle
fermée.
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
Tp + 1 + K
L’unique pôle de cette fonction de transfert en boucle fermée est :
p1 = −
K + 1
T
Ce pôle est négatif, de toute évidence. Par conséquent le système est stable quelle que soit la valeur du gain statique K.
6.2 La fonction de transfert en boucle fermée a ici pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p
2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1 + K
Cette fonction de transfert possède deux pôles que nous pouvons facilement calculer. Calculons pour ce faire le discriminant du trinôme situé au dénominateur :
D = b
2 − 4ac =
4j
2
v
2
n
−
4 (1 + K)
v
2
n
=
4
v
2
n
j
2 − (1 + K)
Si j
2 − (1 + K) > 0, D > 0 et la fonction de transfert H( p) possède alors deux pôles réels ayant pour expressions :
p 1/2 =
−
2j
vn
±
2
vn
j 2 − (1 + K)
2
v
2
n