120
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
6.2 Stabilité d’un système du second ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
avec K > 0, j > 0 et v n > 0
Montrer que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable en boucle fermée quelle que soit
la valeur du gain statique K.
6.3 Stabilité d’un système du troisième ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 1) (p + 2)
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire.
6.4 Stabilité d’un système du troisième ordre à un pôle triple
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
(p + 1)
3
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système
une marge de phase égale à 45
◦ .
6.5 Stabilité d’un système du troisième ordre à un pôle double
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 3)
2
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système
une marge de phase égale à 45
◦ .
6.6 Réglage d’un système avec deux conditions de stabilité
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 100)
2
avec K > 0
Déterminer les conditions sur la valeur de K de manière à ce que le système soit caractérisé, en boucle
fermée à retour unitaire, par une marge de phase supérieure à 45
◦ et par une marge de gain supérieure
à 6 dB.
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
6.2 Stabilité d’un système du second ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1
avec K > 0, j > 0 et v n > 0
Montrer que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable en boucle fermée quelle que soit
la valeur du gain statique K.
6.3 Stabilité d’un système du troisième ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 1) (p + 2)
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire.
6.4 Stabilité d’un système du troisième ordre à un pôle triple
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
(p + 1)
3
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système
une marge de phase égale à 45
◦ .
6.5 Stabilité d’un système du troisième ordre à un pôle double
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 3)
2
avec K > 0
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il
est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Calculer la valeur de K qui assure au système
une marge de phase égale à 45
◦ .
6.6 Réglage d’un système avec deux conditions de stabilité
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
p (p + 100)
2
avec K > 0
Déterminer les conditions sur la valeur de K de manière à ce que le système soit caractérisé, en boucle
fermée à retour unitaire, par une marge de phase supérieure à 45
◦ et par une marge de gain supérieure
à 6 dB.