Exercices
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Figure 6.15 Schéma de la boucle de régulation.
Supposons dans un premier temps que le système soit stable pour K = 1 et traçons le lieu de Nyquist G 1
dans ce cas, autrement dit nous traçons le diagramme pour G( jv). Le lieu passe bien évidemment à droite
du point critique puisque le système est supposé stable (courbe en trait plein sur la figure 6.16).
Si on suppose à présent que K > 1, on aura pour nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte :
G
( p) = K · G( p) ⇒ G
( jv) = K · G( jv)
soit :
G
(v) = K · G(v) et w
(v) = w(v)
Le nouveau lieu de Nyquist obtenu, G 2 (en pointillés sur la figure 6.16), se déduit donc simplement de G 1
par simple homothétie de rapport K. En effet, pour une pulsation v donnée, si M et M’ sont respectivement
les deux points de G 1 et G 2 correspondant à cette pulsation, on a :
G
(v) = K · G(v) et w
(v) = w(v)
Im
Re
Figure 6.16 Influence du gain sur la stabilité.
La figure 6.16 montre que le choix d’une valeur trop importante de K risque de faire passer la courbe
à gauche du point critique, le rendant, de fait, instable. Ce résultat, que nous pouvons considérer comme
général, montre l’influence du gain sur la stabilité des systèmes linéaires continus.
EXERCICES
6.1 Stabilité d’un système du premier ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
1 + Tp
avec K > 0 et T > 0
Montrer que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable en boucle fermée quelle que soit
la valeur du gain statique K.
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Figure 6.15 Schéma de la boucle de régulation.
Supposons dans un premier temps que le système soit stable pour K = 1 et traçons le lieu de Nyquist G 1
dans ce cas, autrement dit nous traçons le diagramme pour G( jv). Le lieu passe bien évidemment à droite
du point critique puisque le système est supposé stable (courbe en trait plein sur la figure 6.16).
Si on suppose à présent que K > 1, on aura pour nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte :
G
( p) = K · G( p) ⇒ G
( jv) = K · G( jv)
soit :
G
(v) = K · G(v) et w
(v) = w(v)
Le nouveau lieu de Nyquist obtenu, G 2 (en pointillés sur la figure 6.16), se déduit donc simplement de G 1
par simple homothétie de rapport K. En effet, pour une pulsation v donnée, si M et M’ sont respectivement
les deux points de G 1 et G 2 correspondant à cette pulsation, on a :
G
(v) = K · G(v) et w
(v) = w(v)
Im
Re
Figure 6.16 Influence du gain sur la stabilité.
La figure 6.16 montre que le choix d’une valeur trop importante de K risque de faire passer la courbe
à gauche du point critique, le rendant, de fait, instable. Ce résultat, que nous pouvons considérer comme
général, montre l’influence du gain sur la stabilité des systèmes linéaires continus.
EXERCICES
6.1 Stabilité d’un système du premier ordre
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par :
G( p) =
K
1 + Tp
avec K > 0 et T > 0
Montrer que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable en boucle fermée quelle que soit
la valeur du gain statique K.