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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
De même, nous aurons tendance à considérer qu’un système dont le lieu de Nyquist passe loin à droite
du point critique, sera « plus » stable que s’il passait très près de ce point.
Ces considérations nous invitent donc à définir une notion de marge de stabilité, en relation avec cet
« éloignement » par rapport au seuil critique d’instabilité. Nous allons ainsi définir successivement la marge
de gain et la marge de phase, à partir d’observations géométriques simples dans le lieu de Nyquist du
système.
6.5.2 Marge de gain
a) Définition
Considérons le diagramme de Nyquist d’un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p). Formulons l’hypothèse que cette fonction de transfert en boucle ouverte ne possède que des pôles à partie réelle
négative, ce qui nous permet d’appréhender sa stabilité en boucle fermée à l’aide du critère du revers. En
vertu de ce critère, le système est stable en boucle fermée si et seulement si son lieu de Nyquist en boucle
ouverte laisse constamment le point critique à sa gauche (figure 6.10).
Im
Re
Figure 6.10 Évaluation de la marge de gain.
Très intuitivement, le système sera d’autant plus stable, c’est-à-dire, plus sûr, que la courbe « passera »
loin du point critique. Une des possibilités, pour chiffrer cet éloignement, consiste à évaluer la distance
entre le point critique C est le point A défini comme le point d’intersection de la courbe avec l’axe réel.
Plus la distance CA est importante, plus le système est stable. On pourrait définir la marge de stabilité
par cette distance, mais on préfère, en général utiliser la distance OA qui correspond aux coordonnées :
⎧
⎨
⎩
G(v) = OA
w(v) = −p
Remarque : L’angle formé par l’axe des réels et le segment OA pourrait tout aussi bien valoir + p.
Toutefois, la plupart des systèmes réels rencontrés dans la pratique présentent en fait des déphasages
négatifs. En règle générale, le point de concours entre la courbe de Nyquist en boucle ouverte et l’axe
des réels correspond donc à un déphasage égal à − p.
Appelons v p la pulsation pour laquelle se produit cette intersection.
On a :
OA = G(v p )
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
De même, nous aurons tendance à considérer qu’un système dont le lieu de Nyquist passe loin à droite
du point critique, sera « plus » stable que s’il passait très près de ce point.
Ces considérations nous invitent donc à définir une notion de marge de stabilité, en relation avec cet
« éloignement » par rapport au seuil critique d’instabilité. Nous allons ainsi définir successivement la marge
de gain et la marge de phase, à partir d’observations géométriques simples dans le lieu de Nyquist du
système.
6.5.2 Marge de gain
a) Définition
Considérons le diagramme de Nyquist d’un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p). Formulons l’hypothèse que cette fonction de transfert en boucle ouverte ne possède que des pôles à partie réelle
négative, ce qui nous permet d’appréhender sa stabilité en boucle fermée à l’aide du critère du revers. En
vertu de ce critère, le système est stable en boucle fermée si et seulement si son lieu de Nyquist en boucle
ouverte laisse constamment le point critique à sa gauche (figure 6.10).
Im
Re
Figure 6.10 Évaluation de la marge de gain.
Très intuitivement, le système sera d’autant plus stable, c’est-à-dire, plus sûr, que la courbe « passera »
loin du point critique. Une des possibilités, pour chiffrer cet éloignement, consiste à évaluer la distance
entre le point critique C est le point A défini comme le point d’intersection de la courbe avec l’axe réel.
Plus la distance CA est importante, plus le système est stable. On pourrait définir la marge de stabilité
par cette distance, mais on préfère, en général utiliser la distance OA qui correspond aux coordonnées :
⎧
⎨
⎩
G(v) = OA
w(v) = −p
Remarque : L’angle formé par l’axe des réels et le segment OA pourrait tout aussi bien valoir + p.
Toutefois, la plupart des systèmes réels rencontrés dans la pratique présentent en fait des déphasages
négatifs. En règle générale, le point de concours entre la courbe de Nyquist en boucle ouverte et l’axe
des réels correspond donc à un déphasage égal à − p.
Appelons v p la pulsation pour laquelle se produit cette intersection.
On a :
OA = G(v p )