6.3 Critère de Nyquist
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Remarque : Le critère de Nyquist mentionne le nombre de tours effectués dans le sens horaire qui doit
être égal à l’opposé du nombre de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte. On peut
également dire que le nombre de tours dans le sens anti-horaire est égal au nombre de pôles instables.
e) Exemple
Soit un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) placé dans une boucle de régulation à retour
unitaire, avec :
G( p) =
K
(p − 1) (p + 10)
2
La fonction de transfert en boucle ouverte G( p) possède donc un pôle à partie réelle positive : 1 et un pôle
double à partie réelle négative : −10.
Dans un premier temps, étudions la stabilité de ce système en boucle fermée à partir du critère de Routh ;
calculons, pour ce faire, la fonction de transfert en boucle fermée :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p − 1)
p 2 + 20p + 100
+ K
Le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est :
D( p) = (p − 1)
p
2 + 20p + 100
+ K = p
3 + 19 p
2 + 120p + (K − 100)
Appliquons le critère de Routh en construisant le tableau suivant :
1
120
19
K − 100
2380 − K
19
0
K − 100
0
Remarque : Une cinquième ligne ne serait composée que de 0.
Pour que le système soit stable, il faut qu’il n’y ait aucun changement de signe dans la première colonne.
Le système est donc stable si 100 < K < 2380.
Pour tracer le lieu de Nyquist, nous devons à présent réaliser l’étude fréquentielle du système en boucle
ouverte :
G( jv) =
K
(jv − 1) (jv + 10)
2
soit :
G(v) =
K
v 2 + 1
v 2 + 100
et :
w(v) = 0 − arg (−1 + jv) − 2 arg (jv + 10)
d’où :
w(v) = −p + arctan v − 2 arctan
v
10
Choisissons une valeur de K pour laquelle le système est stable, par exemple K = 1000. Le diagramme de
Bode de ce système se trace aisément (figure 6.7) et le diagramme de Nyquist se déduit de ce diagramme