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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
Remarquons par ailleurs, que les pôles de G( p) sont aussi ceux de F( p) ; en effet, une fraction rationnelle
à laquelle on ajoute 1 donne, après réduction au même dénominateur, une nouvelle fraction rationnelle de
même dénominateur. Par conséquent, le nombre n de pôles de F( p) se trouvant à l’intérieur du contour de
Nyquist est égal au nombre de pôles instables (à partie réelle positive) de G( p).
Si on trace l’image par F = 1 + G du contour de Nyquist, on pourra donc diagnostiquer la stabilité du
système en boucle fermée si le nombre de tours effectués par F(G) autour de l’origine est égal à −n où n est
le nombre de pôles de G( p) à partie réelle positive. Cette conclusion nous conduit à un premier énoncé du
critère de Nyquist :
Un système est stable en boucle fermée si l’image du contour de Nyquist par la fonction F( p) = G( p)+1
fait autour de l’origine, dans le sens horaire, un nombre de tours égal à −n où n est le nombre de pôles à
partie réelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p). L’image du contour de Nyquist,
par ailleurs, ne doit pas passer par l’origine.
d) Deuxième énoncé du critère de Nyquist
L’étude la position de l’image de G par F = 1 + G par rapport au point O est équivalente à l’étude de la
position de son image par G par rapport au point (−1, 0) que nous nommerons C et que nous appellerons
point critique. Les résultats du paragraphe précédent nous conduisent donc à ce nouvel énoncé :
Un système est stable en boucle fermée si l’image du contour de Nyquist par la fonction G( p) fait autour
du point critique, dans le sens horaire, un nombre de tours égal à −n où n est le nombre de pôles à partie
réelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p). L’image du contour de Nyquist, par
ailleurs, ne doit pas passer par le point critique.
Le tracé de l’image par G( p) du contour de Nyquist ne doit pas poser de problème. En effet, si nous
décomposons ce contour en trois « segments », on constate que l’image du segment OM (demi-axe p = jv)
n’est autre que le lieu de Nyquist du système en boucle ouverte. L’image du segment NO (demi-axe
p = −jv) est son symétrique par rapport ) l’axe des abscisses. Et l’image du demi-cercle MN est celle
d’un ensemble de points de coordonnées p = R e
ju lorsque R → ∞ et lorsque u ∈
p
2
, −
p
2
. En règle
générale, cette image est confondue avec le point O.
Pour appliquer le critère de Nyquist, il suffit donc, pour déterminer l’image du contour G de tracer le lieu
de Nyquist du système en boucle ouverte et son symétrique par rapport à l’axe des abscisses et de parcourir
la courbe ainsi constituée dans le sens v → −∞ vers v → +∞.
La figure 6.6 illustre cet énoncé du critère de Nyquist.
Im
Re
Figure 6.6 Illustration du critère de Nyquist.
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
Remarquons par ailleurs, que les pôles de G( p) sont aussi ceux de F( p) ; en effet, une fraction rationnelle
à laquelle on ajoute 1 donne, après réduction au même dénominateur, une nouvelle fraction rationnelle de
même dénominateur. Par conséquent, le nombre n de pôles de F( p) se trouvant à l’intérieur du contour de
Nyquist est égal au nombre de pôles instables (à partie réelle positive) de G( p).
Si on trace l’image par F = 1 + G du contour de Nyquist, on pourra donc diagnostiquer la stabilité du
système en boucle fermée si le nombre de tours effectués par F(G) autour de l’origine est égal à −n où n est
le nombre de pôles de G( p) à partie réelle positive. Cette conclusion nous conduit à un premier énoncé du
critère de Nyquist :
Un système est stable en boucle fermée si l’image du contour de Nyquist par la fonction F( p) = G( p)+1
fait autour de l’origine, dans le sens horaire, un nombre de tours égal à −n où n est le nombre de pôles à
partie réelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p). L’image du contour de Nyquist,
par ailleurs, ne doit pas passer par l’origine.
d) Deuxième énoncé du critère de Nyquist
L’étude la position de l’image de G par F = 1 + G par rapport au point O est équivalente à l’étude de la
position de son image par G par rapport au point (−1, 0) que nous nommerons C et que nous appellerons
point critique. Les résultats du paragraphe précédent nous conduisent donc à ce nouvel énoncé :
Un système est stable en boucle fermée si l’image du contour de Nyquist par la fonction G( p) fait autour
du point critique, dans le sens horaire, un nombre de tours égal à −n où n est le nombre de pôles à partie
réelle positive de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p). L’image du contour de Nyquist, par
ailleurs, ne doit pas passer par le point critique.
Le tracé de l’image par G( p) du contour de Nyquist ne doit pas poser de problème. En effet, si nous
décomposons ce contour en trois « segments », on constate que l’image du segment OM (demi-axe p = jv)
n’est autre que le lieu de Nyquist du système en boucle ouverte. L’image du segment NO (demi-axe
p = −jv) est son symétrique par rapport ) l’axe des abscisses. Et l’image du demi-cercle MN est celle
d’un ensemble de points de coordonnées p = R e
ju lorsque R → ∞ et lorsque u ∈
p
2
, −
p
2
. En règle
générale, cette image est confondue avec le point O.
Pour appliquer le critère de Nyquist, il suffit donc, pour déterminer l’image du contour G de tracer le lieu
de Nyquist du système en boucle ouverte et son symétrique par rapport à l’axe des abscisses et de parcourir
la courbe ainsi constituée dans le sens v → −∞ vers v → +∞.
La figure 6.6 illustre cet énoncé du critère de Nyquist.
Im
Re
Figure 6.6 Illustration du critère de Nyquist.