6.3 Critère de Nyquist
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Im
Re
Figure 6.4 Contour de Nyquist.
c) Application du théorème de Cauchy à l’étude de la stabilité
Considérons le système quelconque représenté sur la figure 6.5.
Figure 6.5 Schéma général d’une boucle de régulation.
Ce système est stable en boucle fermée si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermée :
H( p) =
A( p)
1 + A( p)B( p)
ne possède aucun pôle à partie réelle positive.
Autrement dit, l’étude la stabilité du système revient à étudier les solutions de l’équation :
1 + A( p)B( p) = 0
ou encore :
1 + G( p) = 0
G( p) est la fonction de transfert en boucle ouverte du système. Cela signifie qu’il est possible d’appréhender
l’étude la stabilité d’un système en boucle fermée à partir de sa fonction de transfert en boucle ouverte. Le
mathématicien Nyquist a eu l’idée de proposer un critère de stabilité basé sur l’application du théorème de
Cauchy à la fonction F( p) = G( p) + 1.
Rappelons que le système est stable si et seulement si aucun pôle de H( p) n’est à partie réelle positive.
Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée étant les zéros de cette fonction F( p), cela signifie
que le système est stable si et seulement si aucun zéro de F( p) ne se trouve à l’intérieur du contour de
Nyquist. Il faut donc, pour que le système soit stable, que l’on ait : m = 0, m étant le nombre de zéros de
F( p), donc le nombre de pôles de H( p).