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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
Remarque : Une cinquième ligne ne serait composée que de 0.
Pour que le système soit stable, il faut qu’il n’y ait aucun changement de signe dans la première colonne,
donc que 3 − K > 0.
Le système est donc stable si K < 3.
6.3
CRITÈRE DE NYQUIST
Le critère de Nyquist est un critère graphique de stabilité en boucle fermée obtenu à partir du lieu de Nyquist
du système en boucle ouverte. Il est une conséquence du théorème de Cauchy appliqué à la fonction de
transfert d’un système asservi.
a) Théorème de Cauchy
Soit une fonction complexe d’une variable complexe F( p) possédant n pôles et m zéros. On considère, dans
le plan complexe, un contour fermé G de telle sorte que tous les pôles et tous les zéros de la fonction F( p)
se trouvent à l’intérieur de ce contour (figure 6.3).
Lorsque p se déplace le long du contour G, son image par F se déplace le long d’une courbe que nous
pouvons appeler F(G).
Le nombre de tours effectué par F(G) autour de l’origine est égal à m − n. La différence m − n est
comptée positivement si le sens de rotation de p le long de G coïncide avec le sens de rotation de F(G)
autour de O et négativement dans le cas contraire.
Im
Re
Figure 6.3 Illustration du théorème de Cauchy.
b) Contour de Nyquist
On définit le contour de Nyquist par la courbe G définie par le demi-périmètre d’un cercle de rayon R et de
centre O lorsque R → ∞, du côté des parties réelles positives.
Ce contour est donc formé de l’axe des imaginaires (p = jv) pour v variant de −∞ à +∞ et d’un arc
de cercle de rayon infini qui le referme. Il contient donc tout le demi-plan correspondant aux parties réelles
positives (figure 6.4). On l’oriente arbitrairement dans le sens horaire. Cela signifie que l’on supposera,
dans l’application du théorème de Cauchy, que p décrit le contour G dans le sens indiqué sur la figure 6.4.
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
Remarque : Une cinquième ligne ne serait composée que de 0.
Pour que le système soit stable, il faut qu’il n’y ait aucun changement de signe dans la première colonne,
donc que 3 − K > 0.
Le système est donc stable si K < 3.
6.3
CRITÈRE DE NYQUIST
Le critère de Nyquist est un critère graphique de stabilité en boucle fermée obtenu à partir du lieu de Nyquist
du système en boucle ouverte. Il est une conséquence du théorème de Cauchy appliqué à la fonction de
transfert d’un système asservi.
a) Théorème de Cauchy
Soit une fonction complexe d’une variable complexe F( p) possédant n pôles et m zéros. On considère, dans
le plan complexe, un contour fermé G de telle sorte que tous les pôles et tous les zéros de la fonction F( p)
se trouvent à l’intérieur de ce contour (figure 6.3).
Lorsque p se déplace le long du contour G, son image par F se déplace le long d’une courbe que nous
pouvons appeler F(G).
Le nombre de tours effectué par F(G) autour de l’origine est égal à m − n. La différence m − n est
comptée positivement si le sens de rotation de p le long de G coïncide avec le sens de rotation de F(G)
autour de O et négativement dans le cas contraire.
Im
Re
Figure 6.3 Illustration du théorème de Cauchy.
b) Contour de Nyquist
On définit le contour de Nyquist par la courbe G définie par le demi-périmètre d’un cercle de rayon R et de
centre O lorsque R → ∞, du côté des parties réelles positives.
Ce contour est donc formé de l’axe des imaginaires (p = jv) pour v variant de −∞ à +∞ et d’un arc
de cercle de rayon infini qui le referme. Il contient donc tout le demi-plan correspondant aux parties réelles
positives (figure 6.4). On l’oriente arbitrairement dans le sens horaire. Cela signifie que l’on supposera,
dans l’application du théorème de Cauchy, que p décrit le contour G dans le sens indiqué sur la figure 6.4.