6.2 Critère algébrique de Routh
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On recommence le même calcul sur les deux dernières lignes pour créer une quatrième ligne.
a n
a n−2
a n−4 · · · a 1
a n−1
a n−3
a n−5 · · · a 0
b m
b m−1
b m−2 b 0 0
b m a n−3 − a n−1 b m−1
b m
b m a n−5 − a n−1 b m−2
b m
· · ·
On itère le processus jusqu’à ce qu’il n’y ai plus que des 0 sur la ligne.
Le nombre de pôles à partie réelle positive, de la fonction de transfert H( p) est égal au nombre de
changements de signe dans la première colonne.
En conséquence, le système est stable en boucle fermée si tous les coefficients de la première colonne
sont de même signe.
Remarque : Le nombre maximal de lignes est égal au nombre de termes dans le polynômes D(p),
autrement dit à l’ordre du système, plus 1.
6.2.2 Exemple
Soit G( p) =
K
p( p 2 + p + 3)
un système placé dans une boucle de régulation à retour unitaire (figure 6.2).
Figure 6.2 Boucle de régulation étudiée.
Calculons sa fonction de transfert en boucle fermée :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p( p 2 + p + 3)
1 +
K
p( p 2 + p + 3)
=
K
p( p 2 + p + 3) + K
Le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est :
D( p) = p( p
2 + p + 3) + K = p
3 + p
2 + 3p + K
Appliquons le critère de Routh en construisant le tableau suivant :
1
3
1
K
3 − K 0
K
0