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6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
6.1.2 Inconvénients du critère mathématique
Le critère mathématique énoncé précédemment possède l’avantage d’être inconditionnel et universel. Toutefois, il possède un certain nombre d’inconvénients.
– Il nécessite non seulement la connaissance de la fonction de transfert mais il suppose également que l’on
soit capable de calculer ses pôles. Cette tâche peut être aisée pour des systèmes d’ordres peu élevés, mais
elle devient très vite ardue pour des systèmes d’ordres élevés ou qui possédent de nombreux paramètres.
– La fonction de transfert n’est qu’un modèle qui peut parfois, pour des raisons de simplifications nécessaires, être éloigné de la réalité physique de l’objet qu’il décrit. Le critère mathématique diagnostique
la stabilité ou l’instabilité d’un système correspondant au modèle choisi et l’on ne peut jamais être sûr
que le système réel, quant à lui, est stable ou pas.
– Pour finir, les lois qui régissent les systèmes physiques peuvent évoluer dans le temps : des pièces
peuvent s’user ou des éléments peuvent être sensibles à des variations des conditions de l’environnement
extérieur. Un système stable aujourd’hui peut très bien devenir instable par la suite.
Il résulte de ces considérations, d’une part que le critère mathématique est la plupart du temps difficile
à utiliser dans la pratique et d’autre part, qu’il possède un caractère trop « binaire ».
Dans les pages qui suivent, nous nous intéresserons à des critères plus faciles à mettre en œuvre et
surtout à ceux qui introduisent une notion de marge de stabilité, autrement dit qui permettent de quantifier
la stabilité comme une performance en faisant apparaître la notion de système plus ou moins stable. Plus
un système sera stable, plus il aura des chances de le rester et les imprécisions de modélisation seront bien
évidemment moins dangereuses.
6.2
CRITÈRE ALGÉBRIQUE DE ROUTH
6.2.1 Principe
Le critère algébrique de Routh ne permet pas de définir une telle notion de marge de sécurité, mais il
autorise le diagnostic de stabilité pour des systèmes d’ordre élevé et possédant de surcroît, un ou plusieurs
paramètres :
Soit H( p) la fonction de transfert en boucle fermée et soit D( p) le dénominateur de H( p). D( p) est un
polynôme de degré n :
D( p) = a n p
n + a n−1 p
n−1 + a n−2 p
n−2 + · · · + a 1 p + a 0 .
On applique le critère de Routh en plaçant la suite de coefficients a i dans un tableau, sur deux lignes, dans
l’ordre des n décroissants, alternativement une ligne sur deux. On effectue ensuite un calcul pour créer une
ligne supplémentaire, selon l’algorithme présenté sur le schéma ci-dessous.
a n
a n−2
a n−4
· · ·
a 1
a n−1
a n−3
a n−5
· · ·
a 0
a n−1 a n−2 − a n a n−3
a n−1
a n−1 a n−4 − a n a n−5
a n−1
· · ·
a n−1 a 1 − a n a 0
a n−1
· · ·
On dispose alors d’un tableau de trois lignes, la troisième ligne possédant moins de termes que les précédentes. On complète alors cette troisième ligne, à droite, par des zéros.
a n
a n−2 a n−4 · · · a 1
a n−1 a n−3 a n−5 · · · a 0
b m b m−1 b m−2 b 0 0
6 • Stabilité des systèmes linéaires asservis
6.1.2 Inconvénients du critère mathématique
Le critère mathématique énoncé précédemment possède l’avantage d’être inconditionnel et universel. Toutefois, il possède un certain nombre d’inconvénients.
– Il nécessite non seulement la connaissance de la fonction de transfert mais il suppose également que l’on
soit capable de calculer ses pôles. Cette tâche peut être aisée pour des systèmes d’ordres peu élevés, mais
elle devient très vite ardue pour des systèmes d’ordres élevés ou qui possédent de nombreux paramètres.
– La fonction de transfert n’est qu’un modèle qui peut parfois, pour des raisons de simplifications nécessaires, être éloigné de la réalité physique de l’objet qu’il décrit. Le critère mathématique diagnostique
la stabilité ou l’instabilité d’un système correspondant au modèle choisi et l’on ne peut jamais être sûr
que le système réel, quant à lui, est stable ou pas.
– Pour finir, les lois qui régissent les systèmes physiques peuvent évoluer dans le temps : des pièces
peuvent s’user ou des éléments peuvent être sensibles à des variations des conditions de l’environnement
extérieur. Un système stable aujourd’hui peut très bien devenir instable par la suite.
Il résulte de ces considérations, d’une part que le critère mathématique est la plupart du temps difficile
à utiliser dans la pratique et d’autre part, qu’il possède un caractère trop « binaire ».
Dans les pages qui suivent, nous nous intéresserons à des critères plus faciles à mettre en œuvre et
surtout à ceux qui introduisent une notion de marge de stabilité, autrement dit qui permettent de quantifier
la stabilité comme une performance en faisant apparaître la notion de système plus ou moins stable. Plus
un système sera stable, plus il aura des chances de le rester et les imprécisions de modélisation seront bien
évidemment moins dangereuses.
6.2
CRITÈRE ALGÉBRIQUE DE ROUTH
6.2.1 Principe
Le critère algébrique de Routh ne permet pas de définir une telle notion de marge de sécurité, mais il
autorise le diagnostic de stabilité pour des systèmes d’ordre élevé et possédant de surcroît, un ou plusieurs
paramètres :
Soit H( p) la fonction de transfert en boucle fermée et soit D( p) le dénominateur de H( p). D( p) est un
polynôme de degré n :
D( p) = a n p
n + a n−1 p
n−1 + a n−2 p
n−2 + · · · + a 1 p + a 0 .
On applique le critère de Routh en plaçant la suite de coefficients a i dans un tableau, sur deux lignes, dans
l’ordre des n décroissants, alternativement une ligne sur deux. On effectue ensuite un calcul pour créer une
ligne supplémentaire, selon l’algorithme présenté sur le schéma ci-dessous.
a n
a n−2
a n−4
· · ·
a 1
a n−1
a n−3
a n−5
· · ·
a 0
a n−1 a n−2 − a n a n−3
a n−1
a n−1 a n−4 − a n a n−5
a n−1
· · ·
a n−1 a 1 − a n a 0
a n−1
· · ·
On dispose alors d’un tableau de trois lignes, la troisième ligne possédant moins de termes que les précédentes. On complète alors cette troisième ligne, à droite, par des zéros.
a n
a n−2 a n−4 · · · a 1
a n−1 a n−3 a n−5 · · · a 0
b m b m−1 b m−2 b 0 0