6.1 Critère mathématique de stabilité
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Cette fonction de transfert est une fraction rationnelle de deux polynômes en p, factorisables dans le
corps des complexes :
H( p) =
N( p)
D( p)
=
a
m
j=1
p − z j
n
i=1
(p − p i )
Les p i sont les n pôles de H( p). Les z j sont ses m zéros. Ces pôles et zéros peuvent être réels ou complexes.
Si un échelon de consigne unitaire est placé à l’entrée du système, on a :
S( p) =
H( p)
p
=
a
m
j=1
p − z j
p
n
i=1
(p − p i )
Imaginons une décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle et séparons, dans cette
décomposition, les termes correspondant à des pôles réels r i et ceux correspondant à des pôles complexes
t k + jv k :
S( p) =
a
p
+
i
b i
p − r i
+
k
b k
p − (t k + jv k )
La transformée inverse de S( p) est :
s(t) = au(t) +
i
b i e
rit +
k
b k e
(t k +jv k )t
Cette expression nous montre déjà que la présence d’un pôle réel positif r i introduit dans le signal de sortie,
une exponentielle croissante tendant vers l’infini lorsque t tend vers l’infini. Le système ne peut donc pas
être stable s’il existe un pôle réel positif.
Par ailleurs, les termes b k e
(tk+jvk)t peuvent s’écrire :
b k e
(t k +jv k )t = b k e
t k t b k e
jv k t
Ces termes, en se recombinant avec les termes b k
e
(tk−jvk)t (la présence d’un pôle complexe entraîne obligatoire la présence de son conjugué), vont donner naissance à des termes de la forme :
e
t k t (A k cos v k t + B k sin v k t)
Les termes de ce type ne peuvent converger vers une valeur finie que si la partie réelle t k des pôles correspondant est négative. La présence d’un pôle complexe à partie réelle positive entraîne donc l’instabilité du
système.
En rassemblant les deux cas, on montre bien que le système ne peut être stable que si tous ses pôles sont
à partie réelle négative.