5.5 Le problème de la stabilité
93
Posons :
H( p) =
S( p)
E( p)
=
A( p)
1 + A( p)B( p)
définissant ainsi la fonction de transfert en boucle fermée de la boucle de régulation.
On définit également, pour une boucle de régulation, sa fonction de transfert en boucle ouverte par :
G( p) =
S
( p)
E( p)
= A( p)B( p)
Dans le cas d’une boucle à retour unitaire, on a B( p) = 1.
Soit :
G( p) =
S
( p)
E( p)
= A( p)
d’où :
H( p) =
S( p)
E( p)
=
A( p)
1 + A( p)
=
G( p)
1 + G( p)
5.5
LE PROBLÈME DE LA STABILITÉ
Le problème de la stabilité est un problème général de la commande des systèmes : il pose la question
suivante.
Le signal de sortie converge-t-il effectivement vers une valeur finie ou est-il susceptible de diverger ou
d’osciller ?
Ce problème est encore plus crucial dans les systèmes bouclés, compte tenu que le signal de sortie
est réinjecté à l’entrée du système. Dans ces conditions, la boucle peut effectivement se comporter comme
prévu, c’est-à-dire évoluer vers un état où la grandeur à réguler se rapproche de la valeur de consigne, ce qui
correspond au fonctionnement idéal tel que nous l’avons décrit dans le paragraphe 5.2, ce que nous considérerons comme un fonctionnement stable ; mais elle peut également s’emballer, avec pour conséquence
une non-convergence du signal de sortie, comportement que nous qualifierons d’instable.
Il est évident qu’il est nécessaire, lors de la conception d’une boucle de régulation, de lui assurer à tout
prix un comportement stable, ce que nous étudierons dans le prochain chapitre.
5.6
LES PERFORMANCES D’UN SYSTÈME RÉGULÉ
À supposer qu’un système régulé possède effectivement un comportement stable (ce qui est une obligation),
son fonctionnement est caractérisé par un certain nombre de performances qu’il nous faut apprendre à
prévoir (c’est un minimum), voire même à corriger si elles ne sont pas satisfaisantes (c’est beaucoup mieux).
Reprenons l’exemple de la régulation du système de chauffage représenté sur la figure 5.4. Imaginons
que lors de la mise en route du système, la température de la pièce soit de l’ordre de 10
◦ C et que la valeur
de consigne soit égale à 20
◦ C.
Nous nous attendons alors à ce que le dispositif nous fournisse une température ambiante la plus voisine
possible de 20
◦ C. Plus la température réelle sera voisine de la valeur de consigne, plus le système sera
précis.
Nous nous attendons également à avoir une température de 20
◦ C le plus vite possible. Il n’est pas
question d’attendre des heures pour disposer d’un confort thermique acceptable. Plus la valeur de consigne
est atteinte rapidement en sortie du système, plus le dispositif est rapide. Autrement dit, il nous intéresse de
disposer d’un système caractérisé par un régime transitoire le plus court possible.
93
Posons :
H( p) =
S( p)
E( p)
=
A( p)
1 + A( p)B( p)
définissant ainsi la fonction de transfert en boucle fermée de la boucle de régulation.
On définit également, pour une boucle de régulation, sa fonction de transfert en boucle ouverte par :
G( p) =
S
( p)
E( p)
= A( p)B( p)
Dans le cas d’une boucle à retour unitaire, on a B( p) = 1.
Soit :
G( p) =
S
( p)
E( p)
= A( p)
d’où :
H( p) =
S( p)
E( p)
=
A( p)
1 + A( p)
=
G( p)
1 + G( p)
5.5
LE PROBLÈME DE LA STABILITÉ
Le problème de la stabilité est un problème général de la commande des systèmes : il pose la question
suivante.
Le signal de sortie converge-t-il effectivement vers une valeur finie ou est-il susceptible de diverger ou
d’osciller ?
Ce problème est encore plus crucial dans les systèmes bouclés, compte tenu que le signal de sortie
est réinjecté à l’entrée du système. Dans ces conditions, la boucle peut effectivement se comporter comme
prévu, c’est-à-dire évoluer vers un état où la grandeur à réguler se rapproche de la valeur de consigne, ce qui
correspond au fonctionnement idéal tel que nous l’avons décrit dans le paragraphe 5.2, ce que nous considérerons comme un fonctionnement stable ; mais elle peut également s’emballer, avec pour conséquence
une non-convergence du signal de sortie, comportement que nous qualifierons d’instable.
Il est évident qu’il est nécessaire, lors de la conception d’une boucle de régulation, de lui assurer à tout
prix un comportement stable, ce que nous étudierons dans le prochain chapitre.
5.6
LES PERFORMANCES D’UN SYSTÈME RÉGULÉ
À supposer qu’un système régulé possède effectivement un comportement stable (ce qui est une obligation),
son fonctionnement est caractérisé par un certain nombre de performances qu’il nous faut apprendre à
prévoir (c’est un minimum), voire même à corriger si elles ne sont pas satisfaisantes (c’est beaucoup mieux).
Reprenons l’exemple de la régulation du système de chauffage représenté sur la figure 5.4. Imaginons
que lors de la mise en route du système, la température de la pièce soit de l’ordre de 10
◦ C et que la valeur
de consigne soit égale à 20
◦ C.
Nous nous attendons alors à ce que le dispositif nous fournisse une température ambiante la plus voisine
possible de 20
◦ C. Plus la température réelle sera voisine de la valeur de consigne, plus le système sera
précis.
Nous nous attendons également à avoir une température de 20
◦ C le plus vite possible. Il n’est pas
question d’attendre des heures pour disposer d’un confort thermique acceptable. Plus la valeur de consigne
est atteinte rapidement en sortie du système, plus le dispositif est rapide. Autrement dit, il nous intéresse de
disposer d’un système caractérisé par un régime transitoire le plus court possible.