3.1 • Principe fondamental de la dynamique
89
Stratégie de résolution
On recherche la relation entre le couple moteur et la charge issue du piston. Il est donc
nécessaire d’éviter les cinq inconnues scalaires de la liaison pivot. Pour cela, on écrit
l’équation de moment dynamique au point O scalaire z 1 .
Calcul du moment dynamique suivant z 1
Le point O est fixe dans le mouvement 2/1, on a donc
δ(O,2/1) =
d
dt
σ (O,2/1)
1
avec
σ (O,2/1) = I (O,2)
(2/1)
Le vecteur z 1 est immobile dans la base 1, le produit scalaire peut être effectué avant
la dérivation
d
dt
σ (O,2/1)
1
. z 1 =
d
dt
σ (O,2/1). z 1
L’arbre 2 n’est pas un solide de révolution, on suppose la matrice de l’opérateur d’inertie quelconque et on pose
I (O,2) =
A −F −E
−F
B −D
−E −D
J
(
x 2 ,
y 2 ,
z 2 )
Le vecteur rotation
(2/1) s’exprime dans la base mobile par
(2/1) = ω z 2 . On peut
alors calculer la composante suivante z 1 du moment cinétique au point O
σ (O,2/1). z 1 =
I (O,2)
(2/1)
. z 1 = J ω
La dérivation par rapport au temps du résultat précédent permet d’écrire l’expression
de la composante suivant z 1 du moment dynamique au point O
δ(O,2/1). z 1 = J ˙
ω
(17)
Expression des actions mécaniques
Seules deux actions mécaniques interviennent dans l’équation scalaire à écrire, et on
pose les torseurs correspondants sans chercher ici à expliciter davantage l’action mécanique du piston que l’on pose quelconque
F(m → 2) =
0
C m z 1
F(3 → 2) =
R(3 → 2)
M(0,3 → 2)
Application du PFD
Une fois les quantités d’accélération calculées et les actions mécaniques posées, on
peut écrire l’équation de moment dynamique au point O scalaire z 1 recherchée
J ˙
ω = C m +
M(0,3 → 2). z 1
(18)
➤ Bilan de l’étude
On peut constater à partir de cet exemple traité de manière très générale que dans le
cas de la rotation d’un solide autour d’un axe fixe dans un repère galiléen :
• seul intervient dans l’équation de mouvement le moment d’inertie par rapport à
l’axe de rotation du solide concerné ;
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cette constatation évite dans ce cas
bien des calculs inutiles !
L’analyse du contact entre le piston et
l’arbre permet bien sûr de poser le
glisseur d’action mécanique
transmissible correspondant et
d’achever le calcul si nécessaire !
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Stratégie de résolution
On recherche la relation entre le couple moteur et la charge issue du piston. Il est donc
nécessaire d’éviter les cinq inconnues scalaires de la liaison pivot. Pour cela, on écrit
l’équation de moment dynamique au point O scalaire z 1 .
Calcul du moment dynamique suivant z 1
Le point O est fixe dans le mouvement 2/1, on a donc
δ(O,2/1) =
d
dt
σ (O,2/1)
1
avec
σ (O,2/1) = I (O,2)
(2/1)
Le vecteur z 1 est immobile dans la base 1, le produit scalaire peut être effectué avant
la dérivation
d
dt
σ (O,2/1)
1
. z 1 =
d
dt
σ (O,2/1). z 1
L’arbre 2 n’est pas un solide de révolution, on suppose la matrice de l’opérateur d’inertie quelconque et on pose
I (O,2) =
A −F −E
−F
B −D
−E −D
J
(
x 2 ,
y 2 ,
z 2 )
Le vecteur rotation
(2/1) s’exprime dans la base mobile par
(2/1) = ω z 2 . On peut
alors calculer la composante suivante z 1 du moment cinétique au point O
σ (O,2/1). z 1 =
I (O,2)
(2/1)
. z 1 = J ω
La dérivation par rapport au temps du résultat précédent permet d’écrire l’expression
de la composante suivant z 1 du moment dynamique au point O
δ(O,2/1). z 1 = J ˙
ω
(17)
Expression des actions mécaniques
Seules deux actions mécaniques interviennent dans l’équation scalaire à écrire, et on
pose les torseurs correspondants sans chercher ici à expliciter davantage l’action mécanique du piston que l’on pose quelconque
F(m → 2) =
0
C m z 1
F(3 → 2) =
R(3 → 2)
M(0,3 → 2)
Application du PFD
Une fois les quantités d’accélération calculées et les actions mécaniques posées, on
peut écrire l’équation de moment dynamique au point O scalaire z 1 recherchée
J ˙
ω = C m +
M(0,3 → 2). z 1
(18)
➤ Bilan de l’étude
On peut constater à partir de cet exemple traité de manière très générale que dans le
cas de la rotation d’un solide autour d’un axe fixe dans un repère galiléen :
• seul intervient dans l’équation de mouvement le moment d’inertie par rapport à
l’axe de rotation du solide concerné ;
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cette constatation évite dans ce cas
bien des calculs inutiles !
L’analyse du contact entre le piston et
l’arbre permet bien sûr de poser le
glisseur d’action mécanique
transmissible correspondant et
d’achever le calcul si nécessaire !
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