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6. Concernant les valeurs des moments d’inertie, la lecture du
tableau précédent induit plusieurs remarques :
• comme l’on pouvait s’y attendre, les masselottes, alors même
qu’elles ne représentent que la moitié de la masse, contribuent
pour près de 80 % au moment d’inertie ;
• l’axe d’articulation du bras représente 20 % de la masse totale, mais n’intervient pas dans le moment d’inertie ;
• à l’opposée, la vis qui passe presque inaperçue en représente
10 % ;
• le bras occupe l’espace visuelle, mais son influence est inférieure à 10 %.
Cette recherche confirme que pour évaluer un moment d’inertie, il est nécessaire d’être d’autant plus attentif aux masses
qu’elles sont éloignées de l’axe de rotation.
7. Le volume à considérer est un cylindre de révolution homogène de masse volumique ρ, de rayon R et de longueur a.
On calcule sa masse :
m 2 = ρπ R
2 a
A.N. m 2 = 1.45 kg
La valeur relevée dans les tableaux fournies est de m 1 = 1.29 kg.
La masse calculée du volume simplifié est surévaluée de 12 %.
8. On commence par relever la valeur de référence.
J 1 = 0.068 kg m 2
En reprenant les notations de la question précédente, le moment
d’inertie I Gδ du volume simplifié par rapport à un de ses diamètres passant par le centre de masse s’exprime par
I Gδ =
m 2 R
2
4
+
m 2 a
2
12
Toutes les valeurs sont connues, on peut faire l’application numérique
I Gδ = 0.0094 kg m 2
Le théoreme de HUYGENS permet de changer d’axe de rotation
et de poser
J 2 = I Gδ + mL
2
On calcule alors
J 2 = 0.076 kg m 2
Le calcul a introduit la quantité m 2 L
2 notée par ailleurs J 4 dont
la valeur est
J 4 = 0.075 kg m 2
La dernière valeur s’évalue en reprenant la masse déclarée de
m 1 = 1.29 kg pour calculer la quantité m 1 L
2
J 3 = 0.067 kg m 2
On constate que l’influence de la forme du volume considéré
est négligeable ici, J 3 ≈ J 1 et J 4 ≈ J 2 , alors que l’écart de 12 %
sur la masse se retrouve sur le moment d’inertie.
9. Les différents calculs menés permettent de constater que plus
on s’éloigne de l’axe de rotation, moins les formes ont d’importance devant la seule valeur de la masse. Un bon ordre de
grandeur pour un moment d’inertie est souvent obtenu en réduisant les formes d’un solide à des tiges, des disques ou des
masses concentrées. Par contre, il faut rester attentif aux valeurs des masses et aux positions des centres d’inertie.
1. Un encadrement rapide se mène à partir de masses ponctuelles,
avec deux propositions toujours vérifiées :
• la masse supposée concentrée au point le plus loin de l’axe
de rotation fournit un majorant ;
• la masse supposée concentrée au centre d’inertie fournit un
minorant.
Calcul du majorant et premier encadrement
On note P le point courant de masse dm, situé à une distance
r de l’axe de rotation (O, z)
Composant
M
I Oz
Axe bras
21.9 %
0.1 %
Bras seul
16.1 %
7.4 %
Masselottes
51.5 % 76.9 %
Vis
5.4 % 11.3 %
Quincaillerie
5.1 %
4.4 %
Total
100.0 % 100.0 %
r
z
L
r
P
O
Le rayon r vérifie l’encadrement
0 r
2
L
2
On en déduit un premier encadrement toujours vérifié par un
moment d’inertie
0 <
S
r
2 dm <
S
L
2 dm
L’application numérique donne, pour le vantail étudié
0 < I Oz < 24 kg m 2
Le minorant nul est trivial et le majorant correspond à la masse
concentrée au point le plus éloigné de l’axe de rotation.
Calcul du minorant
On suppose la masse concentrée au centre d’inertie. Cette hypothèse rappelle le théorème de HUYGENS
I Oz = I Gz + md
2
Le terme complémentaire md
2 correspond bien à l’hypothèse
faite, et comme I Gz est strictement positif, on en déduit l’inégalité
I Oz > md
2
Dans le cas étudié, le centre de masse est situé approximativement au centre du rectangle enveloppe, donc à une distante
L
2
de l’axe de rotation
I Oz > 6 kg m 2
En définitive, on pose l’encadrement demandé
6 kg m
2 < I Oz < 24 kg m 2
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6. Concernant les valeurs des moments d’inertie, la lecture du
tableau précédent induit plusieurs remarques :
• comme l’on pouvait s’y attendre, les masselottes, alors même
qu’elles ne représentent que la moitié de la masse, contribuent
pour près de 80 % au moment d’inertie ;
• l’axe d’articulation du bras représente 20 % de la masse totale, mais n’intervient pas dans le moment d’inertie ;
• à l’opposée, la vis qui passe presque inaperçue en représente
10 % ;
• le bras occupe l’espace visuelle, mais son influence est inférieure à 10 %.
Cette recherche confirme que pour évaluer un moment d’inertie, il est nécessaire d’être d’autant plus attentif aux masses
qu’elles sont éloignées de l’axe de rotation.
7. Le volume à considérer est un cylindre de révolution homogène de masse volumique ρ, de rayon R et de longueur a.
On calcule sa masse :
m 2 = ρπ R
2 a
A.N. m 2 = 1.45 kg
La valeur relevée dans les tableaux fournies est de m 1 = 1.29 kg.
La masse calculée du volume simplifié est surévaluée de 12 %.
8. On commence par relever la valeur de référence.
J 1 = 0.068 kg m 2
En reprenant les notations de la question précédente, le moment
d’inertie I Gδ du volume simplifié par rapport à un de ses diamètres passant par le centre de masse s’exprime par
I Gδ =
m 2 R
2
4
+
m 2 a
2
12
Toutes les valeurs sont connues, on peut faire l’application numérique
I Gδ = 0.0094 kg m 2
Le théoreme de HUYGENS permet de changer d’axe de rotation
et de poser
J 2 = I Gδ + mL
2
On calcule alors
J 2 = 0.076 kg m 2
Le calcul a introduit la quantité m 2 L
2 notée par ailleurs J 4 dont
la valeur est
J 4 = 0.075 kg m 2
La dernière valeur s’évalue en reprenant la masse déclarée de
m 1 = 1.29 kg pour calculer la quantité m 1 L
2
J 3 = 0.067 kg m 2
On constate que l’influence de la forme du volume considéré
est négligeable ici, J 3 ≈ J 1 et J 4 ≈ J 2 , alors que l’écart de 12 %
sur la masse se retrouve sur le moment d’inertie.
9. Les différents calculs menés permettent de constater que plus
on s’éloigne de l’axe de rotation, moins les formes ont d’importance devant la seule valeur de la masse. Un bon ordre de
grandeur pour un moment d’inertie est souvent obtenu en réduisant les formes d’un solide à des tiges, des disques ou des
masses concentrées. Par contre, il faut rester attentif aux valeurs des masses et aux positions des centres d’inertie.
1. Un encadrement rapide se mène à partir de masses ponctuelles,
avec deux propositions toujours vérifiées :
• la masse supposée concentrée au point le plus loin de l’axe
de rotation fournit un majorant ;
• la masse supposée concentrée au centre d’inertie fournit un
minorant.
Calcul du majorant et premier encadrement
On note P le point courant de masse dm, situé à une distance
r de l’axe de rotation (O, z)
Composant
M
I Oz
Axe bras
21.9 %
0.1 %
Bras seul
16.1 %
7.4 %
Masselottes
51.5 % 76.9 %
Vis
5.4 % 11.3 %
Quincaillerie
5.1 %
4.4 %
Total
100.0 % 100.0 %
r
z
L
r
P
O
Le rayon r vérifie l’encadrement
0 r
2
L
2
On en déduit un premier encadrement toujours vérifié par un
moment d’inertie
0 <
S
r
2 dm <
S
L
2 dm
L’application numérique donne, pour le vantail étudié
0 < I Oz < 24 kg m 2
Le minorant nul est trivial et le majorant correspond à la masse
concentrée au point le plus éloigné de l’axe de rotation.
Calcul du minorant
On suppose la masse concentrée au centre d’inertie. Cette hypothèse rappelle le théorème de HUYGENS
I Oz = I Gz + md
2
Le terme complémentaire md
2 correspond bien à l’hypothèse
faite, et comme I Gz est strictement positif, on en déduit l’inégalité
I Oz > md
2
Dans le cas étudié, le centre de masse est situé approximativement au centre du rectangle enveloppe, donc à une distante
L
2
de l’axe de rotation
I Oz > 6 kg m 2
En définitive, on pose l’encadrement demandé
6 kg m
2 < I Oz < 24 kg m 2
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