80
4. Le balourd 3 est considéré comme une masse ponctuelle, il
est donc intéressant de partir de la définition du moment cinétique pour poser
σ (K ,3/0) = m
−→
K P ∧
V (P,3/0)
Le point P est immobile sur l’hélice 2, donc le calcul du vecteur vitesse
V (P,3/0) se fait à partir de la formule de changement de points sur le mouvement 2/0. On obtient par ce premier calcul
V (P,2/0) =
(2/0) ∧
−→
K P
= ( ˙
α z + ˙
β
x 1 ) ∧ (a
x 1 + b z 2 )
= ˙
α (a
y 1 + b sin β
x 1 ) − ˙
βb
y 2
(1)
Le vecteur
−→
K P se décrit par
−→
K P = a
x 1 + b z 2 et on obtient ainsi
σ (K ,3/0) =
m
(a
2 z − ab cosβ
x 1 + b
2 sinβ
y 2 ) ˙
α + (b
2
x 1 − ab z 2 ) ˙
β
(2)
5. On écrit la définition de l’énergie cinétique pour le système
matériel , que l’on décompose en trois parties indéformables
E((/0) =
V
2 (P,,/0)dm =
3
i=1
E(i/0)
On se retrouve ainsi avec trois termes à calculer :
• Le mouvement 1/0 est un mouvement de rotation autour d’un
axe fixe dans 0, l’expression est alors immédiate
E(1/0) =
1
2
J ˙
α
2
• Pour le mouvement complexe 2/0, il est nécessaire de revenir à l’expression de l’énergie cinétique pour un solide indéformable, à savoir
E(2/0) =
1
2
C(2/0) ⊗ V(2/0)
Le vecteur vitesse
− →
V (K ,2/0) est nul, le vecteur rotation
(2/0) vaut ˙
β
x 2 + ˙
α z 1 et le moment cinétique
σ (K ,2/0)
ayant été calculé à la question 2, on obtient alors
E(2/0) =
1
2
B sin
2
β + C cos
2
β + Ma
2
˙
α
2 +
1
2
A ˙
β
2
• Pour le dernier terme, deux possibilités équivalentes de calcul apparaissent :
– soit on part de la définition de l’énergie cinétique pour une
masse ponctuelle, à savoir E(3/0) =
1
2
m
V
2
(P,3/0) et on
utilise l’expression du vecteur vitesse détaillée à l’équation
(1) ;
– soit on utilise à nouveau l’expression s’appuyant sur un comoment et on utilise le moment cinétique détaillé à l’équation (2).
Tout calcul fait, on obtient
E(3/0) =
1
2
˙
α
2
B sin
2
β + C cos
2
β + Ma
2
+
1
2
A ˙
β
2
La somme des trois résultats précédents donne l’expression recherchée
E((/0) =
1
2
J + (M + m)a
2 + (B + mb
2 ) sin
2
β + C cos
2
β
˙
α
2
+
1
2
A + mb
2
˙
β
2 − mab cos β ˙
α ˙
β
Exercices
d’approfondissement
1. Le logiciel de CAO fournit des valeurs numériques « brutes ».
Il est raisonnable de les lire en se limitant à 3 chiffres significatifs et de les convertir dans les unités du système international.
Concernant la répartition de la masse, les composantes des matrices d’inertie sont données dans la base ( x, y, z). On convertit les valeurs numériques en [kg m
2 ] et on écrit les matrices
associées aux répartitions de masse :
• d’une part autour du centre d’inertie G de l’ensemble du bras ;
I (G,S) =
0.002 0.000 0.000
0.000 0.028 0.000
0.000 0.000 0.027
( x, y, z)
• d’autre part autour du point O .
I (O,S) =
0.002 0.000 0.000
0.000 0.089 0.000
0.000 0.000 0.088
( x, y, z)
2. Les matrices sont diagonales, et l’axe de rotation est un axe
principal d’inertie.
3. Le moment d’inertie recherché est celui autour de l’axe
(O, z) , écrit sous la forme I zz dans le deuxième tableau
fourni
I Oz = 8.8 10
−2 kg m
2
4. Sont également fournis :
• la masse de l’ensemble m = 2.51 kg ;
• la distance du centre de masse G à l’axe (O, z) , évaluée
à d = 0.156 m ;
• le moment d’inertie par rapport à l’axe (G, z), évalué à
I Gz = 0,027 kg m
2
On utilise le théorème de HUYGENS pour calculer
I Gz + md
2 = 0.088 kg m
2
Les données fournies par le logiciel forment un ensemble
cohérent.
5. Utiliser un tableur pour regrouper les différentes valeurs et
automatiser les calculs est efficace.
On propose une synthèse des différentes contributions à la masse
totale M et au moment d’inertie I Oz dans un tableau.
2.9
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4. Le balourd 3 est considéré comme une masse ponctuelle, il
est donc intéressant de partir de la définition du moment cinétique pour poser
σ (K ,3/0) = m
−→
K P ∧
V (P,3/0)
Le point P est immobile sur l’hélice 2, donc le calcul du vecteur vitesse
V (P,3/0) se fait à partir de la formule de changement de points sur le mouvement 2/0. On obtient par ce premier calcul
V (P,2/0) =
(2/0) ∧
−→
K P
= ( ˙
α z + ˙
β
x 1 ) ∧ (a
x 1 + b z 2 )
= ˙
α (a
y 1 + b sin β
x 1 ) − ˙
βb
y 2
(1)
Le vecteur
−→
K P se décrit par
−→
K P = a
x 1 + b z 2 et on obtient ainsi
σ (K ,3/0) =
m
(a
2 z − ab cosβ
x 1 + b
2 sinβ
y 2 ) ˙
α + (b
2
x 1 − ab z 2 ) ˙
β
(2)
5. On écrit la définition de l’énergie cinétique pour le système
matériel , que l’on décompose en trois parties indéformables
E((/0) =
V
2 (P,,/0)dm =
3
i=1
E(i/0)
On se retrouve ainsi avec trois termes à calculer :
• Le mouvement 1/0 est un mouvement de rotation autour d’un
axe fixe dans 0, l’expression est alors immédiate
E(1/0) =
1
2
J ˙
α
2
• Pour le mouvement complexe 2/0, il est nécessaire de revenir à l’expression de l’énergie cinétique pour un solide indéformable, à savoir
E(2/0) =
1
2
C(2/0) ⊗ V(2/0)
Le vecteur vitesse
− →
V (K ,2/0) est nul, le vecteur rotation
(2/0) vaut ˙
β
x 2 + ˙
α z 1 et le moment cinétique
σ (K ,2/0)
ayant été calculé à la question 2, on obtient alors
E(2/0) =
1
2
B sin
2
β + C cos
2
β + Ma
2
˙
α
2 +
1
2
A ˙
β
2
• Pour le dernier terme, deux possibilités équivalentes de calcul apparaissent :
– soit on part de la définition de l’énergie cinétique pour une
masse ponctuelle, à savoir E(3/0) =
1
2
m
V
2
(P,3/0) et on
utilise l’expression du vecteur vitesse détaillée à l’équation
(1) ;
– soit on utilise à nouveau l’expression s’appuyant sur un comoment et on utilise le moment cinétique détaillé à l’équation (2).
Tout calcul fait, on obtient
E(3/0) =
1
2
˙
α
2
B sin
2
β + C cos
2
β + Ma
2
+
1
2
A ˙
β
2
La somme des trois résultats précédents donne l’expression recherchée
E((/0) =
1
2
J + (M + m)a
2 + (B + mb
2 ) sin
2
β + C cos
2
β
˙
α
2
+
1
2
A + mb
2
˙
β
2 − mab cos β ˙
α ˙
β
Exercices
d’approfondissement
1. Le logiciel de CAO fournit des valeurs numériques « brutes ».
Il est raisonnable de les lire en se limitant à 3 chiffres significatifs et de les convertir dans les unités du système international.
Concernant la répartition de la masse, les composantes des matrices d’inertie sont données dans la base ( x, y, z). On convertit les valeurs numériques en [kg m
2 ] et on écrit les matrices
associées aux répartitions de masse :
• d’une part autour du centre d’inertie G de l’ensemble du bras ;
I (G,S) =
0.002 0.000 0.000
0.000 0.028 0.000
0.000 0.000 0.027
( x, y, z)
• d’autre part autour du point O .
I (O,S) =
0.002 0.000 0.000
0.000 0.089 0.000
0.000 0.000 0.088
( x, y, z)
2. Les matrices sont diagonales, et l’axe de rotation est un axe
principal d’inertie.
3. Le moment d’inertie recherché est celui autour de l’axe
(O, z) , écrit sous la forme I zz dans le deuxième tableau
fourni
I Oz = 8.8 10
−2 kg m
2
4. Sont également fournis :
• la masse de l’ensemble m = 2.51 kg ;
• la distance du centre de masse G à l’axe (O, z) , évaluée
à d = 0.156 m ;
• le moment d’inertie par rapport à l’axe (G, z), évalué à
I Gz = 0,027 kg m
2
On utilise le théorème de HUYGENS pour calculer
I Gz + md
2 = 0.088 kg m
2
Les données fournies par le logiciel forment un ensemble
cohérent.
5. Utiliser un tableur pour regrouper les différentes valeurs et
automatiser les calculs est efficace.
On propose une synthèse des différentes contributions à la masse
totale M et au moment d’inertie I Oz dans un tableau.
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