77
3. Parallélépipède rectangle
Attention, cette assimilation n’est valable que pour la compréhension et la recherche de moments d’inertie !
4. Disque
x
y
z
A
G
c
a
b
S’intéresser à un parallélépipède rectangle revient à généraliser le raisonnement mené sur la plaque rectangulaire :
• pour le calcul du moment d’inertie I Az , par exemple :
– la cote du point courant n’intervient pas ;
– les variables x et y sont indépendantes ;
– on intègre la quantité bcx
2 dx de 0 à a ;
– on intègre la quantité acy
2 dy de −
b
2
à +
b
2
.
I Az =
ma
2
3
+
mb
2
12
• les expressions des deux autres moments d’inertie se retrouvent de la même manière.
On propose ainsi :
• pour la répartition de la masse autour du point A ;
I (A,S)
=
mb
2
12
+
mc
2
12
0
0
0
mc
2
12
+
ma
2
3
0
0
0
ma
2
3
+
mb
2
12
( x, y, z)
• pour la répartition de la masse autour du centre d’inertie G.
I (G,S) =
m(b
2 +c
2 )
12
0
0
0
m(c
2 +a
2 )
12
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
12
( x, y, z)
Pour la recherche des moments d’inertie principaux, le parallélépipède rectangle est à imaginer comme la réunion de trois
tiges :
• la première issue du point A, de masse m et de longueur a
suivant
x ;
• la deuxième de part et d’autre du point A, de masse m et de
longueur b suivant
y ;
• la troisième de part et d’autre du point A, de masse m et de
longueur c suivant z .
x
y
z
A
G
a
c
b
R
y
z
G
x
y
z
A
G
R
h
Le disque est un solide de révolution d’axe (G, x) et les moments d’inertie principaux ont été calculés lors de l’exercice
précédent. On peut donc immédiatement proposer la matrice
de l’opérateur d’inertie au centre de masse G
I (G,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
0
0
0
m R
2
4
( x, y, z)
5. Cylindre de révolution
Le cylindre de révolution ci-dessus présente le cumul des résultats mis en place pour une tige de longueur h suivant
x et
pour un disque de rayon R dans un plan parallèle à ( y, z) :
• concernant la répartition de la masse autour du centre d’inertie G ;
I (G,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
12
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
12
( x, y, z)
• concernant la répartition de la masse autour du point A.
I (A,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
3
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
3
( x, y, z)
1. Le vecteur moment cinétique se calcule en un point Q et est
associé au mouvement /R. Il est défini sous la forme d’une
intégrale
σ (Q,,/R) =
−→
Q P ∧
V (P,,/R)dm
2. La démonstration s’appuie sur la définition précédente du moment cinétique, dans laquelle on introduit un nouveau point I
en écrivant
−→
Q P =
− →
Q I +
− →
I P. On obtient deux termes
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3. Parallélépipède rectangle
Attention, cette assimilation n’est valable que pour la compréhension et la recherche de moments d’inertie !
4. Disque
x
y
z
A
G
c
a
b
S’intéresser à un parallélépipède rectangle revient à généraliser le raisonnement mené sur la plaque rectangulaire :
• pour le calcul du moment d’inertie I Az , par exemple :
– la cote du point courant n’intervient pas ;
– les variables x et y sont indépendantes ;
– on intègre la quantité bcx
2 dx de 0 à a ;
– on intègre la quantité acy
2 dy de −
b
2
à +
b
2
.
I Az =
ma
2
3
+
mb
2
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• les expressions des deux autres moments d’inertie se retrouvent de la même manière.
On propose ainsi :
• pour la répartition de la masse autour du point A ;
I (A,S)
=
mb
2
12
+
mc
2
12
0
0
0
mc
2
12
+
ma
2
3
0
0
0
ma
2
3
+
mb
2
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( x, y, z)
• pour la répartition de la masse autour du centre d’inertie G.
I (G,S) =
m(b
2 +c
2 )
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0
0
0
m(c
2 +a
2 )
12
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
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( x, y, z)
Pour la recherche des moments d’inertie principaux, le parallélépipède rectangle est à imaginer comme la réunion de trois
tiges :
• la première issue du point A, de masse m et de longueur a
suivant
x ;
• la deuxième de part et d’autre du point A, de masse m et de
longueur b suivant
y ;
• la troisième de part et d’autre du point A, de masse m et de
longueur c suivant z .
x
y
z
A
G
a
c
b
R
y
z
G
x
y
z
A
G
R
h
Le disque est un solide de révolution d’axe (G, x) et les moments d’inertie principaux ont été calculés lors de l’exercice
précédent. On peut donc immédiatement proposer la matrice
de l’opérateur d’inertie au centre de masse G
I (G,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
0
0
0
m R
2
4
( x, y, z)
5. Cylindre de révolution
Le cylindre de révolution ci-dessus présente le cumul des résultats mis en place pour une tige de longueur h suivant
x et
pour un disque de rayon R dans un plan parallèle à ( y, z) :
• concernant la répartition de la masse autour du centre d’inertie G ;
I (G,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
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0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
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( x, y, z)
• concernant la répartition de la masse autour du point A.
I (A,S) =
m R
2
2
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
3
0
0
0
m R
2
4
+
mh
2
3
( x, y, z)
1. Le vecteur moment cinétique se calcule en un point Q et est
associé au mouvement /R. Il est défini sous la forme d’une
intégrale
σ (Q,,/R) =
−→
Q P ∧
V (P,,/R)dm
2. La démonstration s’appuie sur la définition précédente du moment cinétique, dans laquelle on introduit un nouveau point I
en écrivant
−→
Q P =
− →
Q I +
− →
I P. On obtient deux termes
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