76
1. Tige homogène
On réalise alors que le calcul est exactement le même que pour
une tige de longueur a et de masse m et on en déduit les
valeurs des moments d’inertie par rapport aux axes (A, x)
et (A, y) :
• on intègre de 0 à a pour I Ay ;
I Ay =
ma
2
3
• on intègre de −
b
2
à +
b
2
pour I Ax ;
I Ax =
mb
2
12
Le calcul du troisième moment d’inertie est immédiat en reprenant les différentes expressions
I Ax =
y
2 dm
I Ay =
x
2 dm
I Az =
(x
2 + y
2 )dm =
x
2 dm +
y
2 dm
Comme les coordonnées x et y sont indépendantes l’une de
l’autre, le moment d’inertie I Az est la somme des deux autres.
On en déduit l’expression de la matrice d’inertie au point A
I (A,S) =
mb
2
12
0
0
0
ma
2
3
0
0
0
ma
2
3
+
mb
2
12
( x, y, z)
La compréhension du raisonnement permet de proposer tout
de suite la forme de la matrice de l’opérateur calculé au centre
d’inertie G
I (G,S) =
mb
2
12
0
0
0
ma
2
12
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
12
( x, y, z)
On peut terminer en s’intéressant à la répartition de la masse
autour du point C.
Une fois réalisé qu’il n’y a plus que le plan (C, x, y) comme
plan de symétrie, on calcule le produit d’inertie non nul :
• on se place au point courant P de coordonnées x et y ;
• on pose la masse surfacique µ de la plaque ;
µ =
m
ab
• l’élément de masse élémentaire est exprimé par dm = µdxdy ;
• on calcule l’intégrale cherchée
I Cxy = µ
a
0
xdx
b
0
ydy =
mab
4
On a donc comme résultat final
I (C,S) =
mb
2
3
−
mab
4
0
−
mab
4
ma
2
3
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
3
( x, y, z)
2.5
x
y
L
G
A
B
La tige est à considérer comme un solide de révolution d’axe
(A, x). Les deux matrices à proposer sont immédiatement
écrites :
• matrice de l’opérateur d’inertie au centre de masse G ;
I (G,S) =
0
0
0
0
mL
2
12
0
0
0
mL
2
12
( x, y, z)
• matrice de l’opérateur d’inertie à une de ses extrémités ;
I (A,S) =
0
0
0
0
mL
2
3
0
0
0
mL
2
3
( x, y, z)
2. Plaque rectangulaire
x
y
a
b
G
A
B
C
x
y
x
dx
b
A
P
Pour tous les points de l’axe (A, x), la plaque présente trois plans
de symétrie et les trois directions
x,
y et z sont en conséquence
principales.
On commence par exemple par le moment d’inertie I Ay :
• on se place au point courant P de masse dm situé à l’abscisse
x et à l’ordonnée y ;
• la distance de ce point courant P à l’axe (A, y) ne fait intervenir que l’abscisse x ;
I Ay =
a
0
x
2 dm
• comme l’ordonnée du point courant n’intervient pas pour la
distance à prendre en compte, on pose alors la masse linéïque
ρ de la plaque suivant
x ;
ρ =
m
a
• la masse élémentaire est prise égale à dm = ρdx .
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1. Tige homogène
On réalise alors que le calcul est exactement le même que pour
une tige de longueur a et de masse m et on en déduit les
valeurs des moments d’inertie par rapport aux axes (A, x)
et (A, y) :
• on intègre de 0 à a pour I Ay ;
I Ay =
ma
2
3
• on intègre de −
b
2
à +
b
2
pour I Ax ;
I Ax =
mb
2
12
Le calcul du troisième moment d’inertie est immédiat en reprenant les différentes expressions
I Ax =
y
2 dm
I Ay =
x
2 dm
I Az =
(x
2 + y
2 )dm =
x
2 dm +
y
2 dm
Comme les coordonnées x et y sont indépendantes l’une de
l’autre, le moment d’inertie I Az est la somme des deux autres.
On en déduit l’expression de la matrice d’inertie au point A
I (A,S) =
mb
2
12
0
0
0
ma
2
3
0
0
0
ma
2
3
+
mb
2
12
( x, y, z)
La compréhension du raisonnement permet de proposer tout
de suite la forme de la matrice de l’opérateur calculé au centre
d’inertie G
I (G,S) =
mb
2
12
0
0
0
ma
2
12
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
12
( x, y, z)
On peut terminer en s’intéressant à la répartition de la masse
autour du point C.
Une fois réalisé qu’il n’y a plus que le plan (C, x, y) comme
plan de symétrie, on calcule le produit d’inertie non nul :
• on se place au point courant P de coordonnées x et y ;
• on pose la masse surfacique µ de la plaque ;
µ =
m
ab
• l’élément de masse élémentaire est exprimé par dm = µdxdy ;
• on calcule l’intégrale cherchée
I Cxy = µ
a
0
xdx
b
0
ydy =
mab
4
On a donc comme résultat final
I (C,S) =
mb
2
3
−
mab
4
0
−
mab
4
ma
2
3
0
0
0
m(a
2 +b
2 )
3
( x, y, z)
2.5
x
y
L
G
A
B
La tige est à considérer comme un solide de révolution d’axe
(A, x). Les deux matrices à proposer sont immédiatement
écrites :
• matrice de l’opérateur d’inertie au centre de masse G ;
I (G,S) =
0
0
0
0
mL
2
12
0
0
0
mL
2
12
( x, y, z)
• matrice de l’opérateur d’inertie à une de ses extrémités ;
I (A,S) =
0
0
0
0
mL
2
3
0
0
0
mL
2
3
( x, y, z)
2. Plaque rectangulaire
x
y
a
b
G
A
B
C
x
y
x
dx
b
A
P
Pour tous les points de l’axe (A, x), la plaque présente trois plans
de symétrie et les trois directions
x,
y et z sont en conséquence
principales.
On commence par exemple par le moment d’inertie I Ay :
• on se place au point courant P de masse dm situé à l’abscisse
x et à l’ordonnée y ;
• la distance de ce point courant P à l’axe (A, y) ne fait intervenir que l’abscisse x ;
I Ay =
a
0
x
2 dm
• comme l’ordonnée du point courant n’intervient pas pour la
distance à prendre en compte, on pose alors la masse linéïque
ρ de la plaque suivant
x ;
ρ =
m
a
• la masse élémentaire est prise égale à dm = ρdx .
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