75
• par rapport à l’axe (G, z)
I Gz =
L
2
− L
2
x
2 ρ dx = ρ
x
3
3
L
2
− L
2
= ρ
2
3
L
3
8
=
mL
2
12
Le théorème de HUYGENS permet de calculer I Az à partir de I Gz
I Az = I Gz + m
L
2
2
=
mL
2
12
+
mL
2
4
=
mL
2
3
On retrouve bien évidemment le même résultats.
2. Soit un disque homogène de rayon R et de masse m. On calcule sa masse surfacique ρ
ρ =
m
π R 2
On se place au point courant P de coordonnées polaires r
et θ, avec une masse élémentaire décrite par dm = ρ dr rdθ
3. Dans le cas d’une sphère homogène, pleine ou creuse, la matrice d’inertie calculée en son centre est sphérique
I (G,S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 A
( x, y, z)
La trace de la matrice est donc, en posant r la distance du point
courant P au centre de masse G
3A = 2
x
2 + y
2 + z
2
dm = 2
r
2 dm
Dans le cas d’une sphère creuse, tous les points sont au rayon
R et on en déduit l’expression des moments d’inertie principaux
I Gx = I Gy = I Gz =
2
3
m R
2
4. Dans le cas d’une sphère pleine, on reprend la méthode suivie à la question précédente et on utilise les coordonnées sphériques pour le calcul de l’intégrale.
x
y
u
r
dr
P
G
d
θ
θ
La définition scalaire du moment d’inertie permet d’écrire
I Gz =
2π
0
R
0
ρ r
3 drdθ
Le calcul se mène sans difficulté
I Gz = 2πρ
r
4
4
R
0
=
m R
2
2
La détermination du moment d’inertie par rapport à un des diamètres se mène à partir de l’opérateur d’inertie. Le disque est
un solide de révolution d’axe (G z) . Sa matrice d’inertie est donc
de la forme
I (G,S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 C
( x, y, z)
Le disque est d’épaisseur négligeable. Il existe alors une relation remarquable entre les deux valeurs propres A et C. En effet,
on reprend les expressions générales des moments d’inertie pour
écrire
I Gx =
(y
2 + z
2 )dm ≈
y
2 dm
I Gy =
(z
2 + x
2 )dm ≈
x
2 dm
I Gz =
r
2 dm =
(x
2 + y
2 )dm = I Gx + I Gy
On en déduit la relation C = 2A, donc la valeur du moment
d’inertie du disque par rapport à un de ses diamètres
I Gx =
m R
2
4
x
y
z
u
O
P
u
θ
ϕ
r
Soit une sphère homogène pleine S de rayon R et de masse m.
On calcule tout d’abord sa masse volumique :
• on part de l’expression du volume élémentaire dV ;
dV = dr rdϕ r sin ϕdθ
• on retrouve rapidement l’expression du volume V de la
sphère ;
V =
R
0
r
2 dr
π
0
sin ϕdϕ
2π
0
dθ =
4
3
π R
3
• on en déduit l’expression de la masse volumique ρ.
ρ =
3m
4π R 3
Pour déterminer la trace de la matrice, il faut maintenant calculer
r
2 dm. On a donc
r
2 dm = ρ
R
0
r
4 dr
π
0
sin ϕdϕ
2π
0
dθ =
4
5
ρπ R
5
On en déduit la valeur de la trace de la matrice d’inertie que
l’on exprime en fonction de la masse m
3A = 2
4
5
ρπ R
5 = 2
3
5
m R
2
En conclusion, l’expression des moments d’inertie principaux
pour une sphère homogène pleine de rayon R et de masse m
est
I Gx = I Gy = I Gz =
2
5
m R
2
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• par rapport à l’axe (G, z)
I Gz =
L
2
− L
2
x
2 ρ dx = ρ
x
3
3
L
2
− L
2
= ρ
2
3
L
3
8
=
mL
2
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Le théorème de HUYGENS permet de calculer I Az à partir de I Gz
I Az = I Gz + m
L
2
2
=
mL
2
12
+
mL
2
4
=
mL
2
3
On retrouve bien évidemment le même résultats.
2. Soit un disque homogène de rayon R et de masse m. On calcule sa masse surfacique ρ
ρ =
m
π R 2
On se place au point courant P de coordonnées polaires r
et θ, avec une masse élémentaire décrite par dm = ρ dr rdθ
3. Dans le cas d’une sphère homogène, pleine ou creuse, la matrice d’inertie calculée en son centre est sphérique
I (G,S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 A
( x, y, z)
La trace de la matrice est donc, en posant r la distance du point
courant P au centre de masse G
3A = 2
x
2 + y
2 + z
2
dm = 2
r
2 dm
Dans le cas d’une sphère creuse, tous les points sont au rayon
R et on en déduit l’expression des moments d’inertie principaux
I Gx = I Gy = I Gz =
2
3
m R
2
4. Dans le cas d’une sphère pleine, on reprend la méthode suivie à la question précédente et on utilise les coordonnées sphériques pour le calcul de l’intégrale.
x
y
u
r
dr
P
G
d
θ
θ
La définition scalaire du moment d’inertie permet d’écrire
I Gz =
2π
0
R
0
ρ r
3 drdθ
Le calcul se mène sans difficulté
I Gz = 2πρ
r
4
4
R
0
=
m R
2
2
La détermination du moment d’inertie par rapport à un des diamètres se mène à partir de l’opérateur d’inertie. Le disque est
un solide de révolution d’axe (G z) . Sa matrice d’inertie est donc
de la forme
I (G,S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 C
( x, y, z)
Le disque est d’épaisseur négligeable. Il existe alors une relation remarquable entre les deux valeurs propres A et C. En effet,
on reprend les expressions générales des moments d’inertie pour
écrire
I Gx =
(y
2 + z
2 )dm ≈
y
2 dm
I Gy =
(z
2 + x
2 )dm ≈
x
2 dm
I Gz =
r
2 dm =
(x
2 + y
2 )dm = I Gx + I Gy
On en déduit la relation C = 2A, donc la valeur du moment
d’inertie du disque par rapport à un de ses diamètres
I Gx =
m R
2
4
x
y
z
u
O
P
u
θ
ϕ
r
Soit une sphère homogène pleine S de rayon R et de masse m.
On calcule tout d’abord sa masse volumique :
• on part de l’expression du volume élémentaire dV ;
dV = dr rdϕ r sin ϕdθ
• on retrouve rapidement l’expression du volume V de la
sphère ;
V =
R
0
r
2 dr
π
0
sin ϕdϕ
2π
0
dθ =
4
3
π R
3
• on en déduit l’expression de la masse volumique ρ.
ρ =
3m
4π R 3
Pour déterminer la trace de la matrice, il faut maintenant calculer
r
2 dm. On a donc
r
2 dm = ρ
R
0
r
4 dr
π
0
sin ϕdϕ
2π
0
dθ =
4
5
ρπ R
5
On en déduit la valeur de la trace de la matrice d’inertie que
l’on exprime en fonction de la masse m
3A = 2
4
5
ρπ R
5 = 2
3
5
m R
2
En conclusion, l’expression des moments d’inertie principaux
pour une sphère homogène pleine de rayon R et de masse m
est
I Gx = I Gy = I Gz =
2
5
m R
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