74
1. Il est utile de compléter les notations de l’énoncé :
• le disque plein est nommé D A , de masse m A = ρπ R
2 et de
centre de masse A ;
• le disque creux est nommé D B , de masse m B = ρπr
2 et de
centre de masse B.
Le centre de masse G du solide S est alors le barycentre des
centres de masse des disques D A et D B affectés respectivement
des coefficients +m A et −m B . Cela s’écrit, à partir d’un point
quelconque Q
(m A − m B )
−→
QG = m A
− →
Q A − m B
−→
Q B
On choisit A comme point de référence et on pose
− →
AB = e u
pour écrire en définitive
− →
AG = −
r
2
R 2 − r 2 e
u
2. On caractérise la position des points P 1 et P 2 par leurs coordonnées cylindriques exprimées dans le repère (A, u, v, z)
− →
AP 1 = r 1
x 1
− →
AP 2 = r 2
x 2
2. La formule précédente fait appel à trois opérateurs :
• l’opérateur d’inertie au point Q du solide S, dont la matrice
associée est a priori quelconque ;
I (Q,S) =
I Qx −F −E
−F
B
−D
−E −D
C
(
δ, v,
w)
• l’opérateur d’inertie au point G du solide S, dont la matrice
associée est a priori quelconque ;
I (G,S) =
I Gx
−F g −E g
−F g
B g
−D g
−E g −D g
C g
(
δ, v,
w)
• l’opérateur d’inertie au point Q du solide ponctuel G de masse
m, dont les composantes de la matrice s’expriment à partir
des coordonnées du point G.
I (Q,G[m])
=
m(y
2
g + z
2
g )
−mx g y g
−mx g z g
−my g x g
m(z
2
g + x
2
g )
−my g z g
−mz g x g
−mz g y g
m(x
2
g + y
2
g )
(
δ, v,
w)
3. Le théorème de HUYGENS se retrouve pour chacun des
termes de la diagonale. On se contente de détailler la première
composante de la matrice, en notant que la quantité (y
2
g + z
2
g )
représente le carré de la distance du point G à l’axe (Q,
δ).
I Qx = I Gx + m(y
2
g + z
2
g )
Le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe de rotation (Q,
δ) est égal à la somme du moment d’inertie de ce solide par rapport à l’axe (G,
δ), axe de rotation parallèle passant
par le centre de masse, et du moment d’inertie du point G affecté de la masse totale m par rapport à l’axe (Q,
δ).
1. Soit une tige homogène de longueur L et de masse m. On
calcule sa masse linéïque ρ
ρ =
m
L
On se place au point courant P de masse dm = ρdx situé à
l’abscisse x
2.1
z
u
x 1
y 1
1
z
u
x 2
y 2
2
θ
θ
v
v
On souhaite le barycentre des points B, P 1 et P 2 affectés des
coefficients respectifs −m B , m 1 et m 2 au point A. Cela se traduit par
−m B
− →
AB + m 1
− →
AP 1 + m 2
− →
AP 2 =
0
On exprime cette équation vectorielle dans la base ( u, v) pour
obtenir un système de deux équations à six inconnues
m 1 r 1 cos θ 1 + m 2 r 2 cos θ 2 = m B e
m 1 r 1 sin θ 1 + m 2 r 2 sin θ 2 = 0
Ce système d’équations est à compléter par les inégalités traduisant la valeur maximale des rayons et les zones à éviter.
Une solution un peu particulière mérite attention. On choisit
m 1 = m 2 = m 0 et r 1 = r 2 = r 0 . On obtient alors le système de
deux équations à quatre inconnues suivant
θ 1 = −θ 2
2m 0 r 0 cos θ 1 = m B e
Les deux masses sont nécessairement symétriques par rapport
à la droite (A,
u), et il faut un apport de matière (m 0 > 0) pour
un angle θ 1 compris entre 0 et 90°, ou percer des trous (m 0 < 0)
pour θ 1 compris entre 90° et 180°.
1. Pour l’opérateur d’inertie au point Q d’un solide S, la formule de changement de point s’exprime par
I (Q,S) = I (G,S) + I (Q,G[m])
2.3
x
dx
L
x
P
A
B
La définition scalaire du moment d’inertie et le calcul d’intégrales permettent d’écrire :
• par rapport à l’axe (A, z)
I Az =
L
0
x
2 ρ dx = ρ
x
3
3
L
0
= ρ
L
3
3
=
mL
2
3
2.4
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1. Il est utile de compléter les notations de l’énoncé :
• le disque plein est nommé D A , de masse m A = ρπ R
2 et de
centre de masse A ;
• le disque creux est nommé D B , de masse m B = ρπr
2 et de
centre de masse B.
Le centre de masse G du solide S est alors le barycentre des
centres de masse des disques D A et D B affectés respectivement
des coefficients +m A et −m B . Cela s’écrit, à partir d’un point
quelconque Q
(m A − m B )
−→
QG = m A
− →
Q A − m B
−→
Q B
On choisit A comme point de référence et on pose
− →
AB = e u
pour écrire en définitive
− →
AG = −
r
2
R 2 − r 2 e
u
2. On caractérise la position des points P 1 et P 2 par leurs coordonnées cylindriques exprimées dans le repère (A, u, v, z)
− →
AP 1 = r 1
x 1
− →
AP 2 = r 2
x 2
2. La formule précédente fait appel à trois opérateurs :
• l’opérateur d’inertie au point Q du solide S, dont la matrice
associée est a priori quelconque ;
I (Q,S) =
I Qx −F −E
−F
B
−D
−E −D
C
(
δ, v,
w)
• l’opérateur d’inertie au point G du solide S, dont la matrice
associée est a priori quelconque ;
I (G,S) =
I Gx
−F g −E g
−F g
B g
−D g
−E g −D g
C g
(
δ, v,
w)
• l’opérateur d’inertie au point Q du solide ponctuel G de masse
m, dont les composantes de la matrice s’expriment à partir
des coordonnées du point G.
I (Q,G[m])
=
m(y
2
g + z
2
g )
−mx g y g
−mx g z g
−my g x g
m(z
2
g + x
2
g )
−my g z g
−mz g x g
−mz g y g
m(x
2
g + y
2
g )
(
δ, v,
w)
3. Le théorème de HUYGENS se retrouve pour chacun des
termes de la diagonale. On se contente de détailler la première
composante de la matrice, en notant que la quantité (y
2
g + z
2
g )
représente le carré de la distance du point G à l’axe (Q,
δ).
I Qx = I Gx + m(y
2
g + z
2
g )
Le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe de rotation (Q,
δ) est égal à la somme du moment d’inertie de ce solide par rapport à l’axe (G,
δ), axe de rotation parallèle passant
par le centre de masse, et du moment d’inertie du point G affecté de la masse totale m par rapport à l’axe (Q,
δ).
1. Soit une tige homogène de longueur L et de masse m. On
calcule sa masse linéïque ρ
ρ =
m
L
On se place au point courant P de masse dm = ρdx situé à
l’abscisse x
2.1
z
u
x 1
y 1
1
z
u
x 2
y 2
2
θ
θ
v
v
On souhaite le barycentre des points B, P 1 et P 2 affectés des
coefficients respectifs −m B , m 1 et m 2 au point A. Cela se traduit par
−m B
− →
AB + m 1
− →
AP 1 + m 2
− →
AP 2 =
0
On exprime cette équation vectorielle dans la base ( u, v) pour
obtenir un système de deux équations à six inconnues
m 1 r 1 cos θ 1 + m 2 r 2 cos θ 2 = m B e
m 1 r 1 sin θ 1 + m 2 r 2 sin θ 2 = 0
Ce système d’équations est à compléter par les inégalités traduisant la valeur maximale des rayons et les zones à éviter.
Une solution un peu particulière mérite attention. On choisit
m 1 = m 2 = m 0 et r 1 = r 2 = r 0 . On obtient alors le système de
deux équations à quatre inconnues suivant
θ 1 = −θ 2
2m 0 r 0 cos θ 1 = m B e
Les deux masses sont nécessairement symétriques par rapport
à la droite (A,
u), et il faut un apport de matière (m 0 > 0) pour
un angle θ 1 compris entre 0 et 90°, ou percer des trous (m 0 < 0)
pour θ 1 compris entre 90° et 180°.
1. Pour l’opérateur d’inertie au point Q d’un solide S, la formule de changement de point s’exprime par
I (Q,S) = I (G,S) + I (Q,G[m])
2.3
x
dx
L
x
P
A
B
La définition scalaire du moment d’inertie et le calcul d’intégrales permettent d’écrire :
• par rapport à l’axe (A, z)
I Az =
L
0
x
2 ρ dx = ρ
x
3
3
L
0
= ρ
L
3
3
=
mL
2
3
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