73
1. Pour montrer que le centre d’inertie d’un système matériel
est unique, on suppose qu’il en existe deux, notés respectivement G 1 et G 2 . Ils vérifient alors tous les deux la définition
du centre de masse
− − →
G 1 Pdm =
0
− − →
G 2 Pdm =
0
On soustrait ces deux égalités membre à membre pour obtenir
− −− →
G 1 G 2 dm =
0
Le vecteur
− −− →
G 1 G 2 , indépendant de la somme, peut alors être mis
en facteur et on obtient
m
− −− →
G 1 G 2 =
0
Comme la masse m du système est non nulle, les deux points
G 1 et G 2 sont nécessairement confondus. Le centre de masse
est unique.
2. On considère un système matériel de masse m. Son
centre de masse G est défini par
−→
G Pdm =
0
On pose alors
−→
G P =
−→
Q P −
−→
QG , avec Q un point quelconque
−→
QGdm =
−→
Q Pdm
Le vecteur
−→
QG est indépendant de la somme et peut alors être
mis en facteur. On obtient finalement la relation recherchée
m
−→
QG =
−→
Q Pdm
3. On considère un système matériel de masse m en mouvement par rapport à un repère R. Son centre de masse G est
défini par
−→
G Pdm =
0
On dérive cette expression par rapport au temps et on utilise
la propriété de système à masse conservative
d
dt
−→
G Pdm
R
=
d
dt
−→
G P
R
dm =
0
On pose alors
−→
G P =
− →
I P −
− →
I G , avec I un point immobile
dans R.
d
dt
− →
I G
R
dm =
d
dt
− →
I P
R
dm
Les vecteurs
− →
I G et
− →
I P sont des vecteurs position respectivement des points G et P dans R. On utilise alors la définition
d’un vecteur vitesse pour écrire
V (G,,/R)dm
(a)
=
V (P,,/R)dm
Dans le terme (a), le vecteur
V (G,,/R) est indépendant de
l’intégrale et est mis en facteur. Cette intégrale peut alors être
calculée
(a) =
V (G,,/R)
dm = m
V (G,,/R)
On en déduit que la quantité de mouvement d’un système matériel est la somme des quantités de mouvements élémentaires.
m
V (G,,/R) =
V (P,,/R)dm
4. Un solide indéformable S est un ensemble de points deux à
deux équidistants au cours du temps. Il s’agit donc de montrer
que le centre de masse G de S est immobile par rapport à S.
On considère pour cela un point Q du solide S et on évalue la
dérivée du vecteur position
−→
QG dans S en utilisant la définition du centre de masse
d
dt
−→
QG
S
=
d
dt
1
m
S
−→
Q Pdm
S
Le système est un système à masse conservative. On peut ainsi
d’une part sortir
1
m de la dérivée, d’autre part échanger la dérivée avec l’intégrale
d
dt
−→
QG
S
=
1
m
S
d
dt
−→
Q P
S
dm
Le vecteur
−→
Q P est un vecteur position du point P immobile
sur le solide S. Sa dérivée par rapport au temps dans S est donc
nulle et on obtient
d
dt
−→
QG
S
=
0
Le centre de masse G est immobile sur le solide S.
Solutions des exercices
Exercices
d’application
2.1
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1. Pour montrer que le centre d’inertie d’un système matériel
est unique, on suppose qu’il en existe deux, notés respectivement G 1 et G 2 . Ils vérifient alors tous les deux la définition
du centre de masse
− − →
G 1 Pdm =
0
− − →
G 2 Pdm =
0
On soustrait ces deux égalités membre à membre pour obtenir
− −− →
G 1 G 2 dm =
0
Le vecteur
− −− →
G 1 G 2 , indépendant de la somme, peut alors être mis
en facteur et on obtient
m
− −− →
G 1 G 2 =
0
Comme la masse m du système est non nulle, les deux points
G 1 et G 2 sont nécessairement confondus. Le centre de masse
est unique.
2. On considère un système matériel de masse m. Son
centre de masse G est défini par
−→
G Pdm =
0
On pose alors
−→
G P =
−→
Q P −
−→
QG , avec Q un point quelconque
−→
QGdm =
−→
Q Pdm
Le vecteur
−→
QG est indépendant de la somme et peut alors être
mis en facteur. On obtient finalement la relation recherchée
m
−→
QG =
−→
Q Pdm
3. On considère un système matériel de masse m en mouvement par rapport à un repère R. Son centre de masse G est
défini par
−→
G Pdm =
0
On dérive cette expression par rapport au temps et on utilise
la propriété de système à masse conservative
d
dt
−→
G Pdm
R
=
d
dt
−→
G P
R
dm =
0
On pose alors
−→
G P =
− →
I P −
− →
I G , avec I un point immobile
dans R.
d
dt
− →
I G
R
dm =
d
dt
− →
I P
R
dm
Les vecteurs
− →
I G et
− →
I P sont des vecteurs position respectivement des points G et P dans R. On utilise alors la définition
d’un vecteur vitesse pour écrire
V (G,,/R)dm
(a)
=
V (P,,/R)dm
Dans le terme (a), le vecteur
V (G,,/R) est indépendant de
l’intégrale et est mis en facteur. Cette intégrale peut alors être
calculée
(a) =
V (G,,/R)
dm = m
V (G,,/R)
On en déduit que la quantité de mouvement d’un système matériel est la somme des quantités de mouvements élémentaires.
m
V (G,,/R) =
V (P,,/R)dm
4. Un solide indéformable S est un ensemble de points deux à
deux équidistants au cours du temps. Il s’agit donc de montrer
que le centre de masse G de S est immobile par rapport à S.
On considère pour cela un point Q du solide S et on évalue la
dérivée du vecteur position
−→
QG dans S en utilisant la définition du centre de masse
d
dt
−→
QG
S
=
d
dt
1
m
S
−→
Q Pdm
S
Le système est un système à masse conservative. On peut ainsi
d’une part sortir
1
m de la dérivée, d’autre part échanger la dérivée avec l’intégrale
d
dt
−→
QG
S
=
1
m
S
d
dt
−→
Q P
S
dm
Le vecteur
−→
Q P est un vecteur position du point P immobile
sur le solide S. Sa dérivée par rapport au temps dans S est donc
nulle et on obtient
d
dt
−→
QG
S
=
0
Le centre de masse G est immobile sur le solide S.
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2.1
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