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σ (Q,,/R) =
− →
Q I ∧
V (P,,/R)dm
(a)
+
− →
I P ∧
V (P,,/R)dm
(b)
Ces deux termes s’interprètent différemment :
• le second terme correspond à la définition du vecteur moment
cinétique au point I ;
(b) = =
σ (I,,/R)
• dans le premier terme, le vecteur
− →
Q I est indépendant de l’intégrale et peut être mis en facteur
(a) =
− →
Q I ∧
V (P,,/R)dm
On utilise alors la définition du centre d’inertie G du système
pour terminer ce calcul
(a) =
− →
Q I ∧ m
V (G,,/R)
On obtient en définitive
σ (Q,,/R) = =
σ (I,,/R) + m
V (G,,/R) ∧
− →
I Q
Tous les éléments du champ des vecteurs moment cinétique vérifient une relation de champ de moments de torseur avec le
vecteur m
V (G,,/R) indépendant de tout point comme résultante. Le champ des vecteurs moment cinétique est un
champ de vecteurs équiprojectif.
3. Dans le cas d’un solide indéformable S en mouvement dans
un repère R, deux modes de calcul sont à privilégier :
• à partir de l’opérateur d’inertie ;
σ (Q,S/R) = I (Q,S)
(S/R)
• par changement de points sur le champ des vecteurs moment
cinétique.
∀{P,Q} ∈ S
2
σ (P,S/R) = =
σ (Q,S/R) + m
V (G,S/R) ∧
−→
Q P
4. Les moyens usuels de calcul d’un moment dynamique sont
au nombre de deux également :
• soit par changement de points sur le champ des vecteurs moment dynamique, et en général à partir du centre d’inertie G ;
δ(Q,,/R) =
δ(G,,/R) + m
A(G,,/R) ∧
−→
G Q
• soit à partir du moment cinétique, et il ne faut pas oublier le
terme complémentaire.
δ(Q,,/R) =
d
dt
σ (Q,,/R)
R
+
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
On garde néanmoins à l’esprit qu’il est conseillé de commencer par décrire le système pour se placer au plus vite sur des
solides indéformables.
Si le système est un ensemble de n solides S i par exemple,
on commence alors par détailler le vecteur moment dynamique
δ(Q,,/R) =
n
i=1
δ(Q,S i /R)
1. Ce mécanisme comporte une chaîne ouverte de deux solides :
• le bâti R, auquel on attache un repère (A, x, y, z) ;
• la trappe S, en liaison pivot d’axe (A, x) avec le bâti. On pose
α = ( z, z s )
x
y
z
z s x
z s
α
∧
La répartition de la masse de la plaque est caractéristique dans
le repère (G, x s , y s , z s ). On a ainsi deux repères attachés à la
plaque à poser
x s
y s
s
G
A
B
z s x
2d
2c
x
∧
θ
On en déduit la deuxième figure de changement de base
z s
x
z s x
x s
y s
s
∧
θ
La trappe admet trois plans de symétrie dans la base ( x s , y s , z s ),
dans laquelle la matrice de l’opérateur d’inertie au point G
est donc diagonale
I (G,S) =
I Gx
0
0
0
I Gy
0
0
0
I Gz
( x s , y s , z s )
2. Le torseur cinématique associé au mouvement S/R s’écrit
V(S/R) = G
˙
α
x
0
On en déduit que la quantité de mouvement de la trappe dans
son mouvement par rapport à R est nulle.
m
V (G,S/R) =
0
Le moment cinétique au point G se déduit directement de l’opérateur d’inertie
σ (G,S/R) = I (G,S)
(S/R)
2.7
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σ (Q,,/R) =
− →
Q I ∧
V (P,,/R)dm
(a)
+
− →
I P ∧
V (P,,/R)dm
(b)
Ces deux termes s’interprètent différemment :
• le second terme correspond à la définition du vecteur moment
cinétique au point I ;
(b) = =
σ (I,,/R)
• dans le premier terme, le vecteur
− →
Q I est indépendant de l’intégrale et peut être mis en facteur
(a) =
− →
Q I ∧
V (P,,/R)dm
On utilise alors la définition du centre d’inertie G du système
pour terminer ce calcul
(a) =
− →
Q I ∧ m
V (G,,/R)
On obtient en définitive
σ (Q,,/R) = =
σ (I,,/R) + m
V (G,,/R) ∧
− →
I Q
Tous les éléments du champ des vecteurs moment cinétique vérifient une relation de champ de moments de torseur avec le
vecteur m
V (G,,/R) indépendant de tout point comme résultante. Le champ des vecteurs moment cinétique est un
champ de vecteurs équiprojectif.
3. Dans le cas d’un solide indéformable S en mouvement dans
un repère R, deux modes de calcul sont à privilégier :
• à partir de l’opérateur d’inertie ;
σ (Q,S/R) = I (Q,S)
(S/R)
• par changement de points sur le champ des vecteurs moment
cinétique.
∀{P,Q} ∈ S
2
σ (P,S/R) = =
σ (Q,S/R) + m
V (G,S/R) ∧
−→
Q P
4. Les moyens usuels de calcul d’un moment dynamique sont
au nombre de deux également :
• soit par changement de points sur le champ des vecteurs moment dynamique, et en général à partir du centre d’inertie G ;
δ(Q,,/R) =
δ(G,,/R) + m
A(G,,/R) ∧
−→
G Q
• soit à partir du moment cinétique, et il ne faut pas oublier le
terme complémentaire.
δ(Q,,/R) =
d
dt
σ (Q,,/R)
R
+
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
On garde néanmoins à l’esprit qu’il est conseillé de commencer par décrire le système pour se placer au plus vite sur des
solides indéformables.
Si le système est un ensemble de n solides S i par exemple,
on commence alors par détailler le vecteur moment dynamique
δ(Q,,/R) =
n
i=1
δ(Q,S i /R)
1. Ce mécanisme comporte une chaîne ouverte de deux solides :
• le bâti R, auquel on attache un repère (A, x, y, z) ;
• la trappe S, en liaison pivot d’axe (A, x) avec le bâti. On pose
α = ( z, z s )
x
y
z
z s x
z s
α
∧
La répartition de la masse de la plaque est caractéristique dans
le repère (G, x s , y s , z s ). On a ainsi deux repères attachés à la
plaque à poser
x s
y s
s
G
A
B
z s x
2d
2c
x
∧
θ
On en déduit la deuxième figure de changement de base
z s
x
z s x
x s
y s
s
∧
θ
La trappe admet trois plans de symétrie dans la base ( x s , y s , z s ),
dans laquelle la matrice de l’opérateur d’inertie au point G
est donc diagonale
I (G,S) =
I Gx
0
0
0
I Gy
0
0
0
I Gz
( x s , y s , z s )
2. Le torseur cinématique associé au mouvement S/R s’écrit
V(S/R) = G
˙
α
x
0
On en déduit que la quantité de mouvement de la trappe dans
son mouvement par rapport à R est nulle.
m
V (G,S/R) =
0
Le moment cinétique au point G se déduit directement de l’opérateur d’inertie
σ (G,S/R) = I (G,S)
(S/R)
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