Exercices d’application
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
résultats connus pour une tige et un disque sont suffisants
pour décrire de nombreuses situations.
Pour cet exercice, tous les solides sont supposés être
homogènes, de masse m, et pour chacun des volumes
décrits, il est demandé de :
• donner la forme de la matrice associée à l’opérateur
d’inertie calculé en un point à préciser ;
• utiliser les résultats connus concernant les moments
d’inertie pour une tige et un disque afin de proposer les
valeurs caractéristiques.
Sont à considérer successivement :
1. une tige de longueur L ;
2. une plaque rectangulaire de longueurs a × b ;
3. un parallélépipède rectangle de longueurs a × b × c ;
4. un disque de rayon R ;
5. un cylindre de révolution de rayon R et de longueur L.
2.6 Torseurs cinétique et dynamique
On considère un système matériel quelconque en mouvement par rapport à un repère R.
1. Rappeler la définition du vecteur moment cinétique.
2. Montrer que le champ des vecteurs moment cinétique
est un champ de vecteurs équiprojectif.
3. Dans le cas d’un solide indéformable, quels sont les
deux moyens à privilégier pour calculer un moment cinétique ?
4. Quelles sont les différents méthodes possibles pour calculer un moment dynamique ?
2.7 Rotation d’une trappe
On considère une trappe S de forme rectangulaire manœuvrée en rotation autour d’une de ses diagonales :
• la trappe est une plaque rectangulaire A C B D homogène, de masse m et de centre de masse G :
– on lui associe un repère (G,
x s ,
y s , z s ) ;
– on pose
− →
AC = 2c
y s et
− →
AD = 2d
x s .
• la trappe est en liaison pivot d’axe (AB) avec un bâti
noté R.
2. Déterminer au point G les éléments de réduction du torseur cinétique C(S/R).
3. Déterminer au point G l’expression du moment dynamique
δ(G,S/R) .
4. En déduire l’expression du moment d’inertie de la
plaque par rapport à une de ses diagonales.
2.8 Éolienne
On s’intéresse au cours de cet exercice à une éolienne
bipale telle que représentée sur la figure ci-dessous
x S
y S
z S
A
B
C
D
G
On souhaite en déterminer les quantités de mouvement et
d’accélération.
1. Compléter le paramétrage du mécanisme.
2
1
0
Ce mécanisme est composé de trois ensembles en mouvement relatif que l’on décrit à l’aide de quatre solides :
• un support 0, auquel on associe un repère (K ,
x,
y, z) ;
• une girouette 1, en liaison pivot d’axe (K , z) avec le support 0 :
– on lui associe un repère (K ,
x 1 ,
y 1 , z) et on pose
α = ( x,
x 1 ) ;
– on note J son moment d’inertie par rapport à l’axe
(K , z).
• une hélice 2, en liaison pivot d’axe (K ,
x 1 ) avec le support 0 :
– on lui associe un repère (K ,
x 2 ,
y 2 , z 2 ) choisi tel que
x 2 = =
x 1 et on pose β = ( y 1 ,
y 2 ) ;
– on note M sa masse, G son centre d’inertie situé sur
l’axe de rotation et on pose
−→
K G = a
x 1 ;
– on donne la matrice de l’opérateur d’inertie au point
G ;
I (G,2) =
A 0 0
0 B 0
0 0 C
( x 2 ,
y 2 , z 2 )
– on pose
−→
G P = b z 2 .
• on modélise enfin un déséquilibre possible de l’hélice en
rotation par un balourd 3 assimilé à une masse ponctuelle m au point P.
Les paramétrages géométrique et cinématique sont repris
sur la figure ci-après.
L’objectif de l’exercice est de mettre en place les expressions utiles à une étude dynamique ultérieure.
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résultats connus pour une tige et un disque sont suffisants
pour décrire de nombreuses situations.
Pour cet exercice, tous les solides sont supposés être
homogènes, de masse m, et pour chacun des volumes
décrits, il est demandé de :
• donner la forme de la matrice associée à l’opérateur
d’inertie calculé en un point à préciser ;
• utiliser les résultats connus concernant les moments
d’inertie pour une tige et un disque afin de proposer les
valeurs caractéristiques.
Sont à considérer successivement :
1. une tige de longueur L ;
2. une plaque rectangulaire de longueurs a × b ;
3. un parallélépipède rectangle de longueurs a × b × c ;
4. un disque de rayon R ;
5. un cylindre de révolution de rayon R et de longueur L.
2.6 Torseurs cinétique et dynamique
On considère un système matériel quelconque en mouvement par rapport à un repère R.
1. Rappeler la définition du vecteur moment cinétique.
2. Montrer que le champ des vecteurs moment cinétique
est un champ de vecteurs équiprojectif.
3. Dans le cas d’un solide indéformable, quels sont les
deux moyens à privilégier pour calculer un moment cinétique ?
4. Quelles sont les différents méthodes possibles pour calculer un moment dynamique ?
2.7 Rotation d’une trappe
On considère une trappe S de forme rectangulaire manœuvrée en rotation autour d’une de ses diagonales :
• la trappe est une plaque rectangulaire A C B D homogène, de masse m et de centre de masse G :
– on lui associe un repère (G,
x s ,
y s , z s ) ;
– on pose
− →
AC = 2c
y s et
− →
AD = 2d
x s .
• la trappe est en liaison pivot d’axe (AB) avec un bâti
noté R.
2. Déterminer au point G les éléments de réduction du torseur cinétique C(S/R).
3. Déterminer au point G l’expression du moment dynamique
δ(G,S/R) .
4. En déduire l’expression du moment d’inertie de la
plaque par rapport à une de ses diagonales.
2.8 Éolienne
On s’intéresse au cours de cet exercice à une éolienne
bipale telle que représentée sur la figure ci-dessous
x S
y S
z S
A
B
C
D
G
On souhaite en déterminer les quantités de mouvement et
d’accélération.
1. Compléter le paramétrage du mécanisme.
2
1
0
Ce mécanisme est composé de trois ensembles en mouvement relatif que l’on décrit à l’aide de quatre solides :
• un support 0, auquel on associe un repère (K ,
x,
y, z) ;
• une girouette 1, en liaison pivot d’axe (K , z) avec le support 0 :
– on lui associe un repère (K ,
x 1 ,
y 1 , z) et on pose
α = ( x,
x 1 ) ;
– on note J son moment d’inertie par rapport à l’axe
(K , z).
• une hélice 2, en liaison pivot d’axe (K ,
x 1 ) avec le support 0 :
– on lui associe un repère (K ,
x 2 ,
y 2 , z 2 ) choisi tel que
x 2 = =
x 1 et on pose β = ( y 1 ,
y 2 ) ;
– on note M sa masse, G son centre d’inertie situé sur
l’axe de rotation et on pose
−→
K G = a
x 1 ;
– on donne la matrice de l’opérateur d’inertie au point
G ;
I (G,2) =
A 0 0
0 B 0
0 0 C
( x 2 ,
y 2 , z 2 )
– on pose
−→
G P = b z 2 .
• on modélise enfin un déséquilibre possible de l’hélice en
rotation par un balourd 3 assimilé à une masse ponctuelle m au point P.
Les paramétrages géométrique et cinématique sont repris
sur la figure ci-après.
L’objectif de l’exercice est de mettre en place les expressions utiles à une étude dynamique ultérieure.
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