Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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Exercices d’application
2.1 Propriétés du centre de masse
On se propose de démontrer certaines des propriétés
concernant le centre de masse.
1. Montrer que le centre de masse d’un système matériel
de masse m non nulle est unique.
2. Montrer que le centre de masse G d’un système matériel
de masse m se détermine à partir d’un point quelconque
Q par la relation
−→
QG =
1
m
−→
Q Pdm
3. Montrer que la quantité de mouvement m
V (G,,/R)
d’un système matériel de masse m est la somme des
quantités de mouvements élémentaires.
4. Montrer que le centre de masse d’un solide indéformable S est un point de ce solide.
2.2 Disque percé
On considère un solide homogène d’épaisseur négligeable,
de masse surfacique ρ et de masse totale m. Il est schématisé sur la figure ci-dessous et comprend :
• un disque plein de centre A et de rayon R ;
• un disque creux de centre B et de rayon r, excentré par
rapport au premier disque d’une distance e.
• un solide S de masse m, de centre de masse G ;
• un axe du solide S, sur lequel on choisit un point quelconque Q et que l’on oriente par un vecteur
δ ;
• un repère R(Q,
δ, v,
w) attaché au solide S, construit à
partir du point Q et du vecteur
δ ;
• les coordonnées du centre de masse G dans ce repère R.
−→
QG = x g
δ + y g
v + z g
w
1. Exprimer la formule de changement de point pour l’opérateur d’inertie.
2. Proposer les formes des matrices pour les différents opérateurs.
3. Conclure.
2.4 Calcul de moments d’inertie courants
On se propose de s’intéresser à quelques expressions de
moment d’inertie citées dans le cours.
1. À partir de leurs définitions scalaires, déterminer les
expressions des moments d’inertie I Az et I Gz de la tige
homogène de longueur L et de masse m schématisée cidessous
x
y
u
v
e
R
r
A
B
θ
1. Déterminer la position du centre de masse G de ce solide.
2. On souhaite ramener le centre de masse de l’ensemble
sur l’axe (A, z). Pour cela, on dispose de deux masses
ponctuelles additionnelles P 1 et P 2 , de masses respectives
m 1 et m 2 .
Déterminer les conditions à poser sur les coordonnées de
ces deux points afin d’atteindre l’objectif proposé.
2.3 Théorème de HUYGENS
La formule de changement de point a été mise en place
pour l’opérateur d’inertie lors du cours. On souhaite
démontrer le théorème de HUYGENS à partir de son expression. Pour cela, on considère :
x
y
L
G
A
B
R
x
y
G
Valider les résultats à l’aide du théorème de HUYGENS.
2. Calculer directement le moment d’inertie par rapport à
l’axe de révolution pour un disque homogène de rayon R
et de masse m.
Trouver la relation entre I Gz et I Gx en s’intéressant à la
forme de la matrice de l’opérateur d’inertie I (G,S).
3. Calculer la trace de la matrice associée à l’opérateur
d’inertie I (G,S) d’une sphère homogène creuse de rayon
R, de masse m et de centre de masse G.
En déduire la valeur des moments d’inertie I Gx , I Gy et I Gz .
4. Reprendre rapidement le calcul précédent dans le cas
d’une sphère pleine.
2.5 Matrices d’inertie pour des solides courants
On se propose de s’intéresser à un certain nombre de
solides aux formes particulières, afin de réaliser que les
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Exercices d’application
2.1 Propriétés du centre de masse
On se propose de démontrer certaines des propriétés
concernant le centre de masse.
1. Montrer que le centre de masse d’un système matériel
de masse m non nulle est unique.
2. Montrer que le centre de masse G d’un système matériel
de masse m se détermine à partir d’un point quelconque
Q par la relation
−→
QG =
1
m
−→
Q Pdm
3. Montrer que la quantité de mouvement m
V (G,,/R)
d’un système matériel de masse m est la somme des
quantités de mouvements élémentaires.
4. Montrer que le centre de masse d’un solide indéformable S est un point de ce solide.
2.2 Disque percé
On considère un solide homogène d’épaisseur négligeable,
de masse surfacique ρ et de masse totale m. Il est schématisé sur la figure ci-dessous et comprend :
• un disque plein de centre A et de rayon R ;
• un disque creux de centre B et de rayon r, excentré par
rapport au premier disque d’une distance e.
• un solide S de masse m, de centre de masse G ;
• un axe du solide S, sur lequel on choisit un point quelconque Q et que l’on oriente par un vecteur
δ ;
• un repère R(Q,
δ, v,
w) attaché au solide S, construit à
partir du point Q et du vecteur
δ ;
• les coordonnées du centre de masse G dans ce repère R.
−→
QG = x g
δ + y g
v + z g
w
1. Exprimer la formule de changement de point pour l’opérateur d’inertie.
2. Proposer les formes des matrices pour les différents opérateurs.
3. Conclure.
2.4 Calcul de moments d’inertie courants
On se propose de s’intéresser à quelques expressions de
moment d’inertie citées dans le cours.
1. À partir de leurs définitions scalaires, déterminer les
expressions des moments d’inertie I Az et I Gz de la tige
homogène de longueur L et de masse m schématisée cidessous
x
y
u
v
e
R
r
A
B
θ
1. Déterminer la position du centre de masse G de ce solide.
2. On souhaite ramener le centre de masse de l’ensemble
sur l’axe (A, z). Pour cela, on dispose de deux masses
ponctuelles additionnelles P 1 et P 2 , de masses respectives
m 1 et m 2 .
Déterminer les conditions à poser sur les coordonnées de
ces deux points afin d’atteindre l’objectif proposé.
2.3 Théorème de HUYGENS
La formule de changement de point a été mise en place
pour l’opérateur d’inertie lors du cours. On souhaite
démontrer le théorème de HUYGENS à partir de son expression. Pour cela, on considère :
x
y
L
G
A
B
R
x
y
G
Valider les résultats à l’aide du théorème de HUYGENS.
2. Calculer directement le moment d’inertie par rapport à
l’axe de révolution pour un disque homogène de rayon R
et de masse m.
Trouver la relation entre I Gz et I Gx en s’intéressant à la
forme de la matrice de l’opérateur d’inertie I (G,S).
3. Calculer la trace de la matrice associée à l’opérateur
d’inertie I (G,S) d’une sphère homogène creuse de rayon
R, de masse m et de centre de masse G.
En déduire la valeur des moments d’inertie I Gx , I Gy et I Gz .
4. Reprendre rapidement le calcul précédent dans le cas
d’une sphère pleine.
2.5 Matrices d’inertie pour des solides courants
On se propose de s’intéresser à un certain nombre de
solides aux formes particulières, afin de réaliser que les
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