2.3 • Énergie cinétique
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C’est ainsi que la puissance développée lors du déplacement de ce point est une grandeur scalaire correspondant au produit scalaire des vecteurs force et vitesse.
P = m
A.
V =
F.
V
Ces deux notions sont étendues à un système matériel quelconque par somme des
quantités élémentaires sur tout le système considéré.
2.3.1 Énergie cinétique
Expression générale de l’énergie cinétique
On considère le mouvement d’un système matériel par rapport à un repère R, mouvement caractérisé par le champ des vecteurs vitesse
V (P, ,/R).
Définition
On appelle énergie cinétique d’un système matériel dans son mouvement par rapport à un repère R la quantité scalaire somme des énergies cinétiques de chacun de
ses points.
E((/R) =
1
2
− →
V (P, ,/R)
2 dm
L’unité de l’énergie cinétique est le Joule.
Application au solide indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable S, le champ des vecteurs vitesse
V (P, S/R) est
un champ de vecteurs équiprojectif. On introduit en conséquence, dès la définition de
l’énergie cinétique, la formule de changement de point afin de faire intervenir le vecteur vitesse particulier
V (Q, S/R).
En développant le carré de la somme obtenue après substitution, on obtient
2 E(S/R) =
S
V (Q,S/R)
2 dm
(a)
+
S
(S/R) ∧
−→
Q P
2
dm
(b)
+ 2
S
V (Q,S/R).
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
(c)
La poursuite du calcul nécessite quelques manipulations :
• le terme (a) s’évalue indépendamment des formes du solide S et on obtient
(a) = m
V (Q, S/R)
2
• le terme (b) est à considérer comme l’intégrale d’un produit mixte et on transforme ce dernier de manière à reconnaître la définition de l’opérateur d’inertie
(b) =
S
(S/R) ∧
−→
Q P
.
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
=
S
−→
Q P ∧
(S/R) ∧
−→
Q P
.
(S/R)dm
=
(S/R). I (Q,S)
(S/R)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Le champ des vecteurs vitesse
V (P, ,/R) n’est pas un champ de
vecteurs équiprojectif !
Le point Q choisi est bien identifié sur
le solide S.
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