2.2 • Quantité de vitesse et quantité d’accélération
61
Exemple
Pour l’élévateur de la figure 2.4, le bras 4 est un solide quelconque en mouvement
de rotation d’axe (D, z 1 ) par rapport au bâti 1. Le torseur cinématique V(4/1) est
ainsi de la forme
V(4/1) = D
ω 41 z 1
0
Comme le point D est immobile dans le mouvement 4/1, on pose J 4 le moment
d’inertie du bras 4 par rapport à l’axe (D, z 4 ) et on connaît la composante du
moment dynamique en D suivant z 1 .
z 1 .
δ(D,4/1) = ˙
ω 41 z 1
Par contre l’expression complète du torseur dynamique D(4/1) requiert bien
d’autres informations.
B
D
x 1
y 1
z 1 = z 4
4
Figure 2.4 Le bras 4 seul.
2.2.4 Système de solides indéformables
On considère le système , composé de n solides indéformables S i , en mouvement par
rapport à un repère R. On a les deux propriétés suivantes :
• le torseur cinétique C((/R) est la somme des torseurs cinétiques de chacun des
solides dans leurs mouvements par rapport à R
C((/R) =
n
i=1
C(i/R)
• le torseur dynamique D((/R) est la somme des torseurs dynamiques de chacun
des solides dans leurs mouvements par rapport à R
D((/R) =
n
i=1
D(i/R)
D’une manière générale, le calcul de la dérivée du moment cinétique
σ (Q, ,/R) est
délicat à mener. Il est plus que conseillé d’utiliser au plus tôt la somme des torseurs
dynamiques pour continuer les calculs sur les solides indéformables successifs.
L’arbre de la figure 2.5 illustre les principales stratégies qui peuvent être ensuite suivies pour le calcul d’un moment dynamique :
• le point de départ est soit I (G, S), soit I (Q, S) ;
• le point d’arrivée est tout ou partie de
δ(G, S/R) ou de
δ(Q, S/R), le point Q étant
immobile ou non dans le mouvement S/R ;
• l’utilisation de la formule de changement de point sur le champ des vecteurs
moment cinétique ou moment dynamique permet d’éviter les termes complémentaires s’ils ont été oubliés.
Pour conclure cette section, on rappelle les possibilités offertes par la formule de dérivation d’un produit lorsque l’on ne cherche qu’une seule composante d’un moment
dynamique par exemple.
Voilà le point de départ des calculs à
privilégier dans le cas d’un système de
plusieurs solides indéformables.
Il n’y a pas de stratégie unique et
plusieurs chemins sont toujours
possibles.Il est nécessaire de ne jamais
se précipiter sur des calculs sans savoir
avant même de commencer celui que
l’on va suivre!
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le solide S i est noté simplement i .
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Exemple
Pour l’élévateur de la figure 2.4, le bras 4 est un solide quelconque en mouvement
de rotation d’axe (D, z 1 ) par rapport au bâti 1. Le torseur cinématique V(4/1) est
ainsi de la forme
V(4/1) = D
ω 41 z 1
0
Comme le point D est immobile dans le mouvement 4/1, on pose J 4 le moment
d’inertie du bras 4 par rapport à l’axe (D, z 4 ) et on connaît la composante du
moment dynamique en D suivant z 1 .
z 1 .
δ(D,4/1) = ˙
ω 41 z 1
Par contre l’expression complète du torseur dynamique D(4/1) requiert bien
d’autres informations.
B
D
x 1
y 1
z 1 = z 4
4
Figure 2.4 Le bras 4 seul.
2.2.4 Système de solides indéformables
On considère le système , composé de n solides indéformables S i , en mouvement par
rapport à un repère R. On a les deux propriétés suivantes :
• le torseur cinétique C((/R) est la somme des torseurs cinétiques de chacun des
solides dans leurs mouvements par rapport à R
C((/R) =
n
i=1
C(i/R)
• le torseur dynamique D((/R) est la somme des torseurs dynamiques de chacun
des solides dans leurs mouvements par rapport à R
D((/R) =
n
i=1
D(i/R)
D’une manière générale, le calcul de la dérivée du moment cinétique
σ (Q, ,/R) est
délicat à mener. Il est plus que conseillé d’utiliser au plus tôt la somme des torseurs
dynamiques pour continuer les calculs sur les solides indéformables successifs.
L’arbre de la figure 2.5 illustre les principales stratégies qui peuvent être ensuite suivies pour le calcul d’un moment dynamique :
• le point de départ est soit I (G, S), soit I (Q, S) ;
• le point d’arrivée est tout ou partie de
δ(G, S/R) ou de
δ(Q, S/R), le point Q étant
immobile ou non dans le mouvement S/R ;
• l’utilisation de la formule de changement de point sur le champ des vecteurs
moment cinétique ou moment dynamique permet d’éviter les termes complémentaires s’ils ont été oubliés.
Pour conclure cette section, on rappelle les possibilités offertes par la formule de dérivation d’un produit lorsque l’on ne cherche qu’une seule composante d’un moment
dynamique par exemple.
Voilà le point de départ des calculs à
privilégier dans le cas d’un système de
plusieurs solides indéformables.
Il n’y a pas de stratégie unique et
plusieurs chemins sont toujours
possibles.Il est nécessaire de ne jamais
se précipiter sur des calculs sans savoir
avant même de commencer celui que
l’on va suivre!
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le solide S i est noté simplement i .
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