Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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Ce disque est supposé équilibré en rotation et on nomme J 3 son moment d’inertie
par rapport à l’axe (G 3 , z 3 ). Les expressions des torseurs cinétique et dynamique
sont immédiates
C(3/1) =
0
J 3 ω z
D(3/1) =
0
J 3 ˙
ω z
Solide quelconque en rotation autour d’un axe immobile dans R
Soit un solide S de révolution en rotation d’axe par rapport à un repère R :
• on associe au repère R une base vectorielle ( x R ,
y R , z R ) et au solide S une base
B( x,
y, z) ;
• le solide est supposée de masse m et de centre de masse G ;
• on considère un point Q sur l’axe de rotation et on pose = (Q, z) ;
• la répartition de sa masse autour du point Q est caractérisée par la matrice de l’opérateur d’inertie I (Q, S) dont on donne les composantes dans la base B.
I (Q,S) =
A −F −E
−F
B −D
−E −D C
B
Le vecteur rotation a une seule composante dans la base B et on pose
(S/R) = ω z .
On en déduit l’expression du moment cinétique
σ (G, S/R) dans la base tournante.
σ (Q, S/R) = I(Q,S)
(S/R)
= ω (C z − D
y − E
x)
Le point G n’est pas sur l’axe de rotation, le vecteur vitesse
V (G, S/R) n’est pas nul
et le torseur cinétique C(S/R) est de la forme
C(S/R) = Q
m
V (G,S/R)
ω (C z − D
y − E
x)
Le moment dynamique calculé au point Q immobile dans le mouvement S/R est le
vecteur dérivé dans R du moment cinétique
δ(Q,S/R) = C ˙
ω z − ˙
ω (D
y + E
x) + ω
2
(D
x − E
y)
Remarque
La composante suivant z du moment dynamique est la même que celle trouvée pour le solide de révolution équilibré en rotation. On a en effet
δ(Q,S/R). z = C ˙
ω. Mais l’expression
générale est bien plus complexe.
Le vecteur accélération
A(G, S/R) n’est pas nul et la forme du torseur dynamique
D(S/R) n’a rien de particulier
D(S/R) = Q
m
A(G,S/R)
C ˙
ω z − ˙
ω (D
y + E
x) + ω
2
(D
x − E
y)
z = z R
x R
y R
x
y
La matrice et le vecteur rotation doivent
être exprimés dans une même base !
On constate que les expressions
deviennent très rapidement complexes.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
M
Le point Q est bien identifié sur le solide
S et immobile dans le mouvement
S/R .
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Ce disque est supposé équilibré en rotation et on nomme J 3 son moment d’inertie
par rapport à l’axe (G 3 , z 3 ). Les expressions des torseurs cinétique et dynamique
sont immédiates
C(3/1) =
0
J 3 ω z
D(3/1) =
0
J 3 ˙
ω z
Solide quelconque en rotation autour d’un axe immobile dans R
Soit un solide S de révolution en rotation d’axe par rapport à un repère R :
• on associe au repère R une base vectorielle ( x R ,
y R , z R ) et au solide S une base
B( x,
y, z) ;
• le solide est supposée de masse m et de centre de masse G ;
• on considère un point Q sur l’axe de rotation et on pose = (Q, z) ;
• la répartition de sa masse autour du point Q est caractérisée par la matrice de l’opérateur d’inertie I (Q, S) dont on donne les composantes dans la base B.
I (Q,S) =
A −F −E
−F
B −D
−E −D C
B
Le vecteur rotation a une seule composante dans la base B et on pose
(S/R) = ω z .
On en déduit l’expression du moment cinétique
σ (G, S/R) dans la base tournante.
σ (Q, S/R) = I(Q,S)
(S/R)
= ω (C z − D
y − E
x)
Le point G n’est pas sur l’axe de rotation, le vecteur vitesse
V (G, S/R) n’est pas nul
et le torseur cinétique C(S/R) est de la forme
C(S/R) = Q
m
V (G,S/R)
ω (C z − D
y − E
x)
Le moment dynamique calculé au point Q immobile dans le mouvement S/R est le
vecteur dérivé dans R du moment cinétique
δ(Q,S/R) = C ˙
ω z − ˙
ω (D
y + E
x) + ω
2
(D
x − E
y)
Remarque
La composante suivant z du moment dynamique est la même que celle trouvée pour le solide de révolution équilibré en rotation. On a en effet
δ(Q,S/R). z = C ˙
ω. Mais l’expression
générale est bien plus complexe.
Le vecteur accélération
A(G, S/R) n’est pas nul et la forme du torseur dynamique
D(S/R) n’a rien de particulier
D(S/R) = Q
m
A(G,S/R)
C ˙
ω z − ˙
ω (D
y + E
x) + ω
2
(D
x − E
y)
z = z R
x R
y R
x
y
La matrice et le vecteur rotation doivent
être exprimés dans une même base !
On constate que les expressions
deviennent très rapidement complexes.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
M
Le point Q est bien identifié sur le solide
S et immobile dans le mouvement
S/R .
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