Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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➤ Résultante
Le système est un système à masse conservative : la résultante dynamique est ainsi
la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique.
m
A(G,,/R) =
d
dt
m
V (G,,/R)
R
➤ Moment en un point Q
On dérive l’expression du moment cinétique par rapport au temps dans R
d
dt
σ (Q,,/R)
R
=
d
dt
−→
Q P ∧
V (P,,/R) dm
R
Le système est à masse conservative, donc la dérivée temporelle de l’intégrale sur
le système est égale à l’intégrale de la dérivée temporelle
d
dt
σ (Q,,/R)
R
=
d
dt
−→
Q P ∧
V (P,,/R)
R
dm
La formule de dérivation d’un produit permet de mettre en évidence les deux termes à
évaluer :
• le calcul du premier terme nécessite l’introduction d’un point I immobile dans R
pour exploiter la définition d’un vecteur vitesse
d
−→
Q P
dt
R
=
d
− →
I P
dt
R
−
d
− →
I Q
dt
R
=
V (P,,/R) −
V (Q, ?/R)
on obtient alors
d
dt
−→
Q P
R
∧
V (P,,/R)dm =
−
V (Q, ?/R) ∧
V (P,,/R)dm
= −
V (Q, ?/R) ∧
V (P,,/R)dm
= −
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
• le calcul du second terme est immédiat
−→
Q P ∧
d
dt
V (P,,/R)
R
dm =
−→
Q P ∧
A(P,,/R) dm
=
δ(Q,,/R)
On regroupe les deux derniers résultats pour exprimer la relation définitive entre le
moment cinétique et le moment dynamique.
Théorème
Pour un système matériel quelconque en mouvement par rapport à un repère R, le
moment dynamique calculé en un point Q est égal à la somme de la dérivée dans R
du moment cinétique calculé au même point Q et d’un terme complémentaire.
δ(Q,,/R) =
d
dt
σ (Q,,/R)
R
+
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
Le terme complémentaire est une quantité qui est nulle pour deux cas particuliers
rapides à identifier.
Cette expression est une des expressions
importantes à retenir.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le point Q est a priori indépendant du
mouvement /R. La relation est
correcte, mais les calculs sont
impossibles à mener tant que le
mouvement concernant le point Q
n’est pas clairement identifié.
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➤ Résultante
Le système est un système à masse conservative : la résultante dynamique est ainsi
la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique.
m
A(G,,/R) =
d
dt
m
V (G,,/R)
R
➤ Moment en un point Q
On dérive l’expression du moment cinétique par rapport au temps dans R
d
dt
σ (Q,,/R)
R
=
d
dt
−→
Q P ∧
V (P,,/R) dm
R
Le système est à masse conservative, donc la dérivée temporelle de l’intégrale sur
le système est égale à l’intégrale de la dérivée temporelle
d
dt
σ (Q,,/R)
R
=
d
dt
−→
Q P ∧
V (P,,/R)
R
dm
La formule de dérivation d’un produit permet de mettre en évidence les deux termes à
évaluer :
• le calcul du premier terme nécessite l’introduction d’un point I immobile dans R
pour exploiter la définition d’un vecteur vitesse
d
−→
Q P
dt
R
=
d
− →
I P
dt
R
−
d
− →
I Q
dt
R
=
V (P,,/R) −
V (Q, ?/R)
on obtient alors
d
dt
−→
Q P
R
∧
V (P,,/R)dm =
−
V (Q, ?/R) ∧
V (P,,/R)dm
= −
V (Q, ?/R) ∧
V (P,,/R)dm
= −
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
• le calcul du second terme est immédiat
−→
Q P ∧
d
dt
V (P,,/R)
R
dm =
−→
Q P ∧
A(P,,/R) dm
=
δ(Q,,/R)
On regroupe les deux derniers résultats pour exprimer la relation définitive entre le
moment cinétique et le moment dynamique.
Théorème
Pour un système matériel quelconque en mouvement par rapport à un repère R, le
moment dynamique calculé en un point Q est égal à la somme de la dérivée dans R
du moment cinétique calculé au même point Q et d’un terme complémentaire.
δ(Q,,/R) =
d
dt
σ (Q,,/R)
R
+
V (Q, ?/R) ∧ m
V (G,,/R)
Le terme complémentaire est une quantité qui est nulle pour deux cas particuliers
rapides à identifier.
Cette expression est une des expressions
importantes à retenir.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le point Q est a priori indépendant du
mouvement /R. La relation est
correcte, mais les calculs sont
impossibles à mener tant que le
mouvement concernant le point Q
n’est pas clairement identifié.
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