Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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avec respectivement :
• pour résultante, le vecteur quantité de mouvement
P((/R) = m
V (G,,/R) ;
• pour moment au point Q, le vecteur moment cinétique
σ (Q,,/R) .
Application au solide indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable S, le champ des vecteurs vitesse
V (P, S/R) est
un champ de vecteurs équiprojectif. On utilise en conséquence dès la définition du
moment cinétique la formule de changement de point, en introduisant le vecteur vitesse particulier
V (Q, S/R). On obtient ainsi, après développement et arrangement :
σ (Q, S/R) =
−→
Q P ∧
V (P, S/R) dm
=
−→
Q P ∧
V (Q, S/R) +
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
=
−→
Q P dm ∧
V (Q, S/R) +
−→
Q P ∧
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
La première intégrale se calcule indépendemment du vecteur
V (Q, S/R) et on reconnaît pour la seconde l’expression de l’opérateur d’inertie appliqué au vecteur rotation
(S/R). Après l’échange des deux termes, on aboutit à la formule à retenir.
Théorème
Pour un solide indéformable S en mouvement dans un repère R, le moment cinétique
calculé au point Q fait appel à l’opérateur d’inertie exprimé en ce même point Q et
appliqué au vecteur rotation
(S/R), ainsi qu’à un terme complémentaire. Il s’exprime par
σ (Q,S/R) = I(Q, S)
(S/R)
+ m
−→
QG ∧
V (Q,S/R)
Le terme complémentaire est une quantité qui peut être nulle, et il est indispensable de
s’intéresser aux deux cas particuliers rapides à identifier, à savoir les cas de nullité des
vecteurs
−→
QG et
V (Q, S/R).
➤ Premier cas particulier
Le point Q est choisi au centre de masse G. On a alors
σ (G,S/R) = I(G,S)
(S/R)
➤ Second cas particulier
Le point Q est immobile dans le mouvement S/R. On a alors
σ (Q, S/R) = I(Q, S)
(S/R)
2.2.2 Torseur dynamique
Le principe fondamental de la dynamique est construit à partir des variations de quantités de vitesse. C’est pourquoi l’on s’attache à exprimer les quantités d’accélération
d’un système matériel dans son mouvement par rapport à R.
On considère toujours un système , de masse m et de centre de masse G.
La résultante est définie à partir du
vecteur vitesse du centre de masse
uniquement !
Cette expression est une des expressions
importantes à retenir.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Choisir le centre d’inertie donne une
expression simple !
Cette expression n’est pas la forme
générale.Elle n’est valable que pour un
point Q immobile dans le mouvement
S/R .
Le point Q est alors choisi et bien
identifié sur le solide S.
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avec respectivement :
• pour résultante, le vecteur quantité de mouvement
P((/R) = m
V (G,,/R) ;
• pour moment au point Q, le vecteur moment cinétique
σ (Q,,/R) .
Application au solide indéformable
Dans le cas d’un solide indéformable S, le champ des vecteurs vitesse
V (P, S/R) est
un champ de vecteurs équiprojectif. On utilise en conséquence dès la définition du
moment cinétique la formule de changement de point, en introduisant le vecteur vitesse particulier
V (Q, S/R). On obtient ainsi, après développement et arrangement :
σ (Q, S/R) =
−→
Q P ∧
V (P, S/R) dm
=
−→
Q P ∧
V (Q, S/R) +
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
=
−→
Q P dm ∧
V (Q, S/R) +
−→
Q P ∧
(S/R) ∧
−→
Q P
dm
La première intégrale se calcule indépendemment du vecteur
V (Q, S/R) et on reconnaît pour la seconde l’expression de l’opérateur d’inertie appliqué au vecteur rotation
(S/R). Après l’échange des deux termes, on aboutit à la formule à retenir.
Théorème
Pour un solide indéformable S en mouvement dans un repère R, le moment cinétique
calculé au point Q fait appel à l’opérateur d’inertie exprimé en ce même point Q et
appliqué au vecteur rotation
(S/R), ainsi qu’à un terme complémentaire. Il s’exprime par
σ (Q,S/R) = I(Q, S)
(S/R)
+ m
−→
QG ∧
V (Q,S/R)
Le terme complémentaire est une quantité qui peut être nulle, et il est indispensable de
s’intéresser aux deux cas particuliers rapides à identifier, à savoir les cas de nullité des
vecteurs
−→
QG et
V (Q, S/R).
➤ Premier cas particulier
Le point Q est choisi au centre de masse G. On a alors
σ (G,S/R) = I(G,S)
(S/R)
➤ Second cas particulier
Le point Q est immobile dans le mouvement S/R. On a alors
σ (Q, S/R) = I(Q, S)
(S/R)
2.2.2 Torseur dynamique
Le principe fondamental de la dynamique est construit à partir des variations de quantités de vitesse. C’est pourquoi l’on s’attache à exprimer les quantités d’accélération
d’un système matériel dans son mouvement par rapport à R.
On considère toujours un système , de masse m et de centre de masse G.
La résultante est définie à partir du
vecteur vitesse du centre de masse
uniquement !
Cette expression est une des expressions
importantes à retenir.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Choisir le centre d’inertie donne une
expression simple !
Cette expression n’est pas la forme
générale.Elle n’est valable que pour un
point Q immobile dans le mouvement
S/R .
Le point Q est alors choisi et bien
identifié sur le solide S.
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