Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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Solides de formes élémentaires
Lorque l’on s’intéresse à des solides à formes particulières, la principale activité est
d’évaluer la forme de la matrice de l’opérateur d’inertie, en fonction des caractéristiques de la répartition de la masse.
➤ Solide homogène avec un plan de symétrie
On considère un solide homogène S admettant le plan (Q,
x,
y) comme plan de symétrie.
Pour tout point courant P de coordonnées (x, y, z), il existe sur le solide le point de
coordonnées (x, y, −z). On en déduit que les produits d’inertie
yzdm et
zxdm
sont nuls. La matrice est en conséquence de la forme
I (Q, S) =
A −F 0
−F
B
0
0
0
C
( x, y, z)
➤ Solide homogène de révolution
On considère un solide homogène S admettant la droite (Q, z) comme axe de révolution.
Tout plan contenant l’axe de révolution est un plan de symétrie pour le solide, en particulier les plans (Q,
y, z) et (Q, z,
x). On en déduit :
• la matrice de l’opérateur I (Q, S) dans la base ( x,
y, z) est diagonale ;
• tout vecteur orthoganal à z est vecteur propre ;
• on a une valeur propre double ;
• les moments d’inertie I Qx et I Qy sont égaux.
La matrice d’inertie est ainsi de la forme
I (Q, S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 C
( x, y, z)
2.2 Quantité de vitesse
et quantité d’accélération
Les acquis de la mécanique du point
Une des grandeurs importantes de la mécanique, vue en physique, est la quantité de
mouvement.
Pour un point matériel de masse m se déplaçant à une vitesse
V dans un repère R, cette
grandeur est vectorielle et s’écrit usuellement
P = m
V
Quand ce point tourne autour d’un axe (() défini par (Q,
δ), cette quantité de vitesse est caractérisée par le moment cinétique
σ Q , expression raccourcie de moment de
quantité de mouvement
σ Q =
−→
Q P ∧ m
V
De plus, la variation d’une quantité de mouvement au cours du temps est décrite par
la dérivée de la quantité de mouvement, cette dernière étant pour un système à masse
conservative une quantité d’accélération. Pour le point considéré précédemment, on a
ainsi
La quantité de vitesse est appelée plus
souvent quantité de mouvement.
La forme particulière des matrices
d’inertie n’est pas à apprendre. Elle est
à retrouver au cas par cas !
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Solides de formes élémentaires
Lorque l’on s’intéresse à des solides à formes particulières, la principale activité est
d’évaluer la forme de la matrice de l’opérateur d’inertie, en fonction des caractéristiques de la répartition de la masse.
➤ Solide homogène avec un plan de symétrie
On considère un solide homogène S admettant le plan (Q,
x,
y) comme plan de symétrie.
Pour tout point courant P de coordonnées (x, y, z), il existe sur le solide le point de
coordonnées (x, y, −z). On en déduit que les produits d’inertie
yzdm et
zxdm
sont nuls. La matrice est en conséquence de la forme
I (Q, S) =
A −F 0
−F
B
0
0
0
C
( x, y, z)
➤ Solide homogène de révolution
On considère un solide homogène S admettant la droite (Q, z) comme axe de révolution.
Tout plan contenant l’axe de révolution est un plan de symétrie pour le solide, en particulier les plans (Q,
y, z) et (Q, z,
x). On en déduit :
• la matrice de l’opérateur I (Q, S) dans la base ( x,
y, z) est diagonale ;
• tout vecteur orthoganal à z est vecteur propre ;
• on a une valeur propre double ;
• les moments d’inertie I Qx et I Qy sont égaux.
La matrice d’inertie est ainsi de la forme
I (Q, S) =
A 0 0
0 A 0
0 0 C
( x, y, z)
2.2 Quantité de vitesse
et quantité d’accélération
Les acquis de la mécanique du point
Une des grandeurs importantes de la mécanique, vue en physique, est la quantité de
mouvement.
Pour un point matériel de masse m se déplaçant à une vitesse
V dans un repère R, cette
grandeur est vectorielle et s’écrit usuellement
P = m
V
Quand ce point tourne autour d’un axe (() défini par (Q,
δ), cette quantité de vitesse est caractérisée par le moment cinétique
σ Q , expression raccourcie de moment de
quantité de mouvement
σ Q =
−→
Q P ∧ m
V
De plus, la variation d’une quantité de mouvement au cours du temps est décrite par
la dérivée de la quantité de mouvement, cette dernière étant pour un système à masse
conservative une quantité d’accélération. Pour le point considéré précédemment, on a
ainsi
La quantité de vitesse est appelée plus
souvent quantité de mouvement.
La forme particulière des matrices
d’inertie n’est pas à apprendre. Elle est
à retrouver au cas par cas !
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