2.1 • Masse – Répartition de la masse
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On suppose par exemple le produit d’inertie
xydm non nul. Comme ce terme est
indépendant de la coordonnée z, on se place dans le plan (Q,
x,
y) pour constater des
quantités différentes de part et d’autres des axes (Q,
x) ou (Q,
y). C’est pourquoi on
lit souvent que le produit d’inertie I xy caractérise la répartition de la masse de part et
d’autre des plans (Q, z,
x) et (Q,
y, z).
Axes principaux d’inertie
La matrice de l’opérateur d’inertie I (Q,S) est une matrice symétrique, donc diagonalisable. Il existe trois valeurs propres et trois vecteurs propres.
Les trois valeurs propres sont appelées moments d’inertie principaux, les droites
issues du point de calcul Q et orientées par les directions propres sont appelées axes
principaux d’inertie.
Il faut constater que pour un solide donné, il existe toujours une base vectorielle à
associer à un quelconque de ses points dans laquelle la matrice est diagonale.
Changement de point
Supposons connu l’opérateur d’inertie I (Q, S) d’un solide S en un point quelconque Q.
I (Q, S)( u) =
S
−→
Q P ∧
u ∧
−→
Q P
dm
Soit
−→
Q P =
−→
QG +
−→
G P , avec G le centre de masse du solide S. L’expression précédente se décompose en quatre termes
I (Q,S)( u) =
S
−→
QG ∧
u ∧
−→
QG
dm
(a)
+
S
−→
QG ∧
u ∧
−→
G P
dm
(b)
+
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
QG
dm
(c)
+
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
G P
dm
(d)
On s’intéresse à chacun des termes :
• le quatrième (d) correspond à l’opérateur d’inertie au point G
I (G,S)( u) =
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
G P
dm
• l’intégrale du premier terme (a) ne concerne plus que l’élément différentiel et peut
donc être calculée. L’expression finale s’interprète comme l’opérateur d’inertie au
point Q d’un solide composé du seul point G de masse m
I (Q,G[m])( u) = m
−→
QG ∧
u ∧
−→
QG
• les deux termes (b) et (c) sont nuls, du fait d’avoir choisi le centre de masse G lors
du changement de point
(b) −→
−→
QG ∧
u ∧
S
−→
G Pdm
0
=
0
Théorème
L’opérateur d’inertie d’un solide S calculé en un point quelconque Q est égal à la
somme de l’opérateur d’inertie de ce solide calculé au centre de masse G et de l’opérateur d’inertie calculé au point Q du solide ponctuel G affecté de la masse totale du
solide S.
I (Q,S) = I (G,S) + I (Q,G[m])
Cette interprétation est reprise et illustrée
au chapitre suivant, à l’occasion de
l’équilibrage d’un solide en rotation.
Il est obligatoire de passer par le centre
de masse G !
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On suppose par exemple le produit d’inertie
xydm non nul. Comme ce terme est
indépendant de la coordonnée z, on se place dans le plan (Q,
x,
y) pour constater des
quantités différentes de part et d’autres des axes (Q,
x) ou (Q,
y). C’est pourquoi on
lit souvent que le produit d’inertie I xy caractérise la répartition de la masse de part et
d’autre des plans (Q, z,
x) et (Q,
y, z).
Axes principaux d’inertie
La matrice de l’opérateur d’inertie I (Q,S) est une matrice symétrique, donc diagonalisable. Il existe trois valeurs propres et trois vecteurs propres.
Les trois valeurs propres sont appelées moments d’inertie principaux, les droites
issues du point de calcul Q et orientées par les directions propres sont appelées axes
principaux d’inertie.
Il faut constater que pour un solide donné, il existe toujours une base vectorielle à
associer à un quelconque de ses points dans laquelle la matrice est diagonale.
Changement de point
Supposons connu l’opérateur d’inertie I (Q, S) d’un solide S en un point quelconque Q.
I (Q, S)( u) =
S
−→
Q P ∧
u ∧
−→
Q P
dm
Soit
−→
Q P =
−→
QG +
−→
G P , avec G le centre de masse du solide S. L’expression précédente se décompose en quatre termes
I (Q,S)( u) =
S
−→
QG ∧
u ∧
−→
QG
dm
(a)
+
S
−→
QG ∧
u ∧
−→
G P
dm
(b)
+
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
QG
dm
(c)
+
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
G P
dm
(d)
On s’intéresse à chacun des termes :
• le quatrième (d) correspond à l’opérateur d’inertie au point G
I (G,S)( u) =
S
−→
G P ∧
u ∧
−→
G P
dm
• l’intégrale du premier terme (a) ne concerne plus que l’élément différentiel et peut
donc être calculée. L’expression finale s’interprète comme l’opérateur d’inertie au
point Q d’un solide composé du seul point G de masse m
I (Q,G[m])( u) = m
−→
QG ∧
u ∧
−→
QG
• les deux termes (b) et (c) sont nuls, du fait d’avoir choisi le centre de masse G lors
du changement de point
(b) −→
−→
QG ∧
u ∧
S
−→
G Pdm
0
=
0
Théorème
L’opérateur d’inertie d’un solide S calculé en un point quelconque Q est égal à la
somme de l’opérateur d’inertie de ce solide calculé au centre de masse G et de l’opérateur d’inertie calculé au point Q du solide ponctuel G affecté de la masse totale du
solide S.
I (Q,S) = I (G,S) + I (Q,G[m])
Cette interprétation est reprise et illustrée
au chapitre suivant, à l’occasion de
l’équilibrage d’un solide en rotation.
Il est obligatoire de passer par le centre
de masse G !
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