Chapitre 2 • Description des masses en mouvement
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• une base vectorielle ( x,
y, z) attachée à ce solide ;
• un point Q quelconque mais fixe sur ce solide ;
• le point courant P de coordonnées (x, y, z) dans le repère (Q,
x,
y, z) .
La matrice associée à l’opérateur
−→
Q P∧ est une matrice antisymétrique que l’on
retrouve à partir de la technique de calcul du produit vectoriel
0 −z y
z
0 −x
−y x
0
( x, y, z)
La matrice associée à l’opérateur
−→
Q P ∧
−→
Q P ∧ ...
s’écrit alors, toujours dans la base
vectorielle ( x,
y, z)
0 −z y
z
0 −x
−y x
0
0 −z y
z
0 −x
−y x
0
=
−(y
2
+ z
2
)
xy
xz
yx
−(z
2
+ x
2
)
yz
zx
zy
−(x
2
+ y
2
)
On en déduit donc la forme générale de la matrice de l’opérateur d’inertie
I (Q,S) =
(y
2
+ z
2
)dm
−
xy dm
−
xz dm
−
yx dm
(z
2
+ x
2
)dm
−
yz dm
−
zx dm
−
zy dm
(x
2
+ y
2
)dm
( x, y, z)
Notations usuelles et interprétation
On trouve les composantes de la matrice associée à l’opérateur d’inertie usuellement
proposées sous une des deux formes suivantes
I (Q,S) =
I Qx −I xy −I xz
−I yx I Qy −I yz
−I zx −I zy I Qz
( x, y, z)
=
A −F −E
−F
B −D
−E −D C
( x, y, z)
Les termes de la diagonale I Qx , I Qy et I Qz s’interprètent immédiatement comme des
moments d’inertie, respectivement autour des axes (Q, x), (Q, y) et (Q, z) :
• que ce soit par l’approche scalaire ;
A = I Qx =
S
(y
2
+ z
2
)dm =
S
r
2
x dm
Cette forme générale n’est pas à utiliser
en l’état. Aboutir à cette expression
permet de comprendre, mais il faut
immédiatement passer aux notations
usuelles pour poursuivre la réflexion et
s’approprier des méthodes efficaces de
calculs !
La somme y 2 + z 2 est bien le carré de
la distance r x du point P à l’axe de
rotation (Q, x) !
x
y
z
Q
P
y
z
r x
• ou que ce soit par l’approche vectorielle.
I Qx = =
x.I (Q,S)
x
Les termes D, E et F sont appelés produit d’inertie et traduisent une asymétrie dans
la répartition de la masse dans le repère (Q, x, y, z).
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