2.1 • Masse – Répartition de la masse
49
La définition scalaire du moment d’inertie permet d’écrire
I Qδ =
S
H P
2 dm
Alors que la distance Q H s’obtient à l’aide du produit scalaire
δ.
−→
Q P , la distance H P
s’évalue à l’aide du produit vectoriel
δ ∧
−→
Q P
I Qδ =
S
(
δ ∧
−→
Q P)
2 dm
L’utilisation des propriétés du produit mixte conduit à une autre écriture de cette intégrale
I Qδ =
δ.
S
−→
Q P ∧ (
δ ∧
−→
Q P)dm
Cette dernière équation laisse apparaître le produit scalaire du vecteur
δ avec un vecteur appelé « opérateur d’inertie au point Q du solide S appliqué au vecteur
δ »
I Qδ =
δ . I (Q,S)
δ
Il reste à expliciter l’opérateur d’inertie, objet de la section suivante.
2.1.5 Opérateur d’inertie
L’opérateur d’inertie caractérise la répartition de la masse d’un solide indéformable
autour d’un de ses points.
Expression et notation
Définition
Soit un solide indéformable S et un point quelconque Q de ce solide.
On appelle opérateur d’inertie au point Q du solide S l’application, notée I (Q,S),
qui à tout vecteur
u associe le vecteur
S
−→
Q P ∧
u ∧
−→
Q P
dm .
E −→ E
u −→ I (Q,S)( u) =
S
−→
Q P ∧ ( u ∧
−→
Q P)dm
La notation de cet opérateur semble surprenante, mais reste fidèle au modèle d’écriture d’une fonction
x −→ f (x)
u −→ I (Q,S)
f


u
x


Matrice associée à l’opérateur d’inertie
Pour écrire la matrice associée à l’opérateur d’inertie, on met en œuvre :
• un solide S ;
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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