2.1 • Masse – Répartition de la masse
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La quantité m R
2 est appelée moment d’inertie de la masse ponctuelle P par rapport à
l’axe de rotation .
Définition scalaire d’un moment d’inertie
On s’intéresse maintenant à un solide indéformable sur lequel on va sommer la quantité élémentaire mise en évidence :
• soit un solide S de masse m ;
• soient un axe lié à ce solide S, Q un point quelconque de cet axe et
δ un vecteur unitaire orientant cet axe ;
• soit P un point courant de ce solide, de masse dm situé à la distance courante r de
l’axe .
On note le moment d’inertie I ou I Qδ , c’est-à-dire en ajoutant en indice la droite de
référence.
Définition
On appelle moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe la somme des masses
élémentaires multipliées par le carré de la distante du point courant à cet axe.
Avec les notations posées précédemment, on obtient comme expression
I Qδ =
S
r
2 dm
Cette définition appelle les commentaires suivants :
• un moment d’inertie caractérise la distribution de la masse d’un solide autour d’une
droite ;
• le moment d’inertie I Qδ caractérise la répartition de la masse du solide S par rapport à l’axe ;
• un moment d’inertie est le produit d’une masse et d’une longueur au carré.
L’unité d’un moment d’inertie est le kilogramme mètre carré [kg m
2 ]
Changement d’axe de rotation
Il est possible de changer d’axe de rotation de référence pour le calcul d’un moment
d’inertie. Cette opération est connue sous le nom de théorème de HUYGENS.
Théorème de Huygens
Soit un solide indéformable S de masse m et de centre de masse G.
Soit = (Q,
δ) une droite de ce solide S et soit d la distance du point G à cet axe.
Le moment d’inertie du solide S par rapport à un axe de rotation est égal à la
somme du moment d’inertie de ce solide par rapport à l’axe de rotation parallèle passant par le centre de masse G et du moment d’inertie du point G affecté de la masse
totale m par rapport à .
I Qδ = I Gδ + md
2
Moments d’inertie de solides courants
La définition scalaire d’un moment d’inertie est suffisante pour le calculer dans des cas
simples.
Tous les solides considérés sont supposés être homogènes.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Un moment d’inertie n’a pas de sens en
soi. Il est nécessaire de connaître l’axe
de référence !
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La quantité m R
2 est appelée moment d’inertie de la masse ponctuelle P par rapport à
l’axe de rotation .
Définition scalaire d’un moment d’inertie
On s’intéresse maintenant à un solide indéformable sur lequel on va sommer la quantité élémentaire mise en évidence :
• soit un solide S de masse m ;
• soient un axe lié à ce solide S, Q un point quelconque de cet axe et
δ un vecteur unitaire orientant cet axe ;
• soit P un point courant de ce solide, de masse dm situé à la distance courante r de
l’axe .
On note le moment d’inertie I ou I Qδ , c’est-à-dire en ajoutant en indice la droite de
référence.
Définition
On appelle moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe la somme des masses
élémentaires multipliées par le carré de la distante du point courant à cet axe.
Avec les notations posées précédemment, on obtient comme expression
I Qδ =
S
r
2 dm
Cette définition appelle les commentaires suivants :
• un moment d’inertie caractérise la distribution de la masse d’un solide autour d’une
droite ;
• le moment d’inertie I Qδ caractérise la répartition de la masse du solide S par rapport à l’axe ;
• un moment d’inertie est le produit d’une masse et d’une longueur au carré.
L’unité d’un moment d’inertie est le kilogramme mètre carré [kg m
2 ]
Changement d’axe de rotation
Il est possible de changer d’axe de rotation de référence pour le calcul d’un moment
d’inertie. Cette opération est connue sous le nom de théorème de HUYGENS.
Théorème de Huygens
Soit un solide indéformable S de masse m et de centre de masse G.
Soit = (Q,
δ) une droite de ce solide S et soit d la distance du point G à cet axe.
Le moment d’inertie du solide S par rapport à un axe de rotation est égal à la
somme du moment d’inertie de ce solide par rapport à l’axe de rotation parallèle passant par le centre de masse G et du moment d’inertie du point G affecté de la masse
totale m par rapport à .
I Qδ = I Gδ + md
2
Moments d’inertie de solides courants
La définition scalaire d’un moment d’inertie est suffisante pour le calculer dans des cas
simples.
Tous les solides considérés sont supposés être homogènes.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Un moment d’inertie n’a pas de sens en
soi. Il est nécessaire de connaître l’axe
de référence !
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