2.1 • Masse – Répartition de la masse
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Définition
Un système à masse conservative est un système dont la masse ne varie pas au cours
du temps.
Cette indépendance entre la masse et le temps est à exploiter d’autant plus que les
calculs à mener s’appuient sur deux activités principales :
• on définit des quantités élémentaires dépendant du point P courant et du temps t,
nommée simplement ici f (P, t)dm, que l’on somme par intégration sur tout le système matériel.
• on s’intéresse aux variations de ces quantités au cours du temps.
On démontre alors que pour un système à masse conservative, la dérivée par rapport
au temps de la somme de ces quantités élémentaires est égale à la somme de la dérivée par rapport au temps de ces mêmes quantités, ce que l’on peut écrire
d
dt
f (P,t)dm
=
d
dt
f (P,t)
dm
2.1.3 Centre de masse
Soient un système matériel quelconque , de masse m, et P un point courant de ce
système, de masse dm.
Définition
Le centre de masse d’un système matériel quelconque est le point noté G vérifiant la propriété
−→
G Pdm = 0
Le centre de masse d’un système matériel est également appelé centre d’inertie. Il
vérifie de nombreuses propriétés que l’on se contente d’énoncer ici.
➤ Propriété 1
Le centre de masse d’un système matériel est unique.
➤ Propriété 2
Le centre de masse G d’un système matériel de masse m se détermine à partir d’un
point quelconque Q par la relation
−→
QG =
1
m
−→
Q Pdm
➤ Propriété 3
Soient 1 et 2 deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses et de
centres de masse respectifs m 1 et m 2 , G 1 et G 2 .
Soit Q un point quelconque.
Le point G, centre de masse du système = 1 ∪ 2 de masse m = m 1 + m 2 , est le
barycentre des points G 1 et G 2 affectés de leurs masses respectives m 1 et m 2 et il vérifie la relation
m
−→
QG = m 1
−→
QG 1 + m 2
− − →
QG 2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
On peut échanger l’ordre de la dérivée
et de l’intégrale !
Certaines de ces propriétés sont
démontrées en exercice.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
f (P, t) est une fonction quelconque,
soit scalaire, soit vectorielle.
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Définition
Un système à masse conservative est un système dont la masse ne varie pas au cours
du temps.
Cette indépendance entre la masse et le temps est à exploiter d’autant plus que les
calculs à mener s’appuient sur deux activités principales :
• on définit des quantités élémentaires dépendant du point P courant et du temps t,
nommée simplement ici f (P, t)dm, que l’on somme par intégration sur tout le système matériel.
• on s’intéresse aux variations de ces quantités au cours du temps.
On démontre alors que pour un système à masse conservative, la dérivée par rapport
au temps de la somme de ces quantités élémentaires est égale à la somme de la dérivée par rapport au temps de ces mêmes quantités, ce que l’on peut écrire
d
dt
f (P,t)dm
=
d
dt
f (P,t)
dm
2.1.3 Centre de masse
Soient un système matériel quelconque , de masse m, et P un point courant de ce
système, de masse dm.
Définition
Le centre de masse d’un système matériel quelconque est le point noté G vérifiant la propriété
−→
G Pdm = 0
Le centre de masse d’un système matériel est également appelé centre d’inertie. Il
vérifie de nombreuses propriétés que l’on se contente d’énoncer ici.
➤ Propriété 1
Le centre de masse d’un système matériel est unique.
➤ Propriété 2
Le centre de masse G d’un système matériel de masse m se détermine à partir d’un
point quelconque Q par la relation
−→
QG =
1
m
−→
Q Pdm
➤ Propriété 3
Soient 1 et 2 deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses et de
centres de masse respectifs m 1 et m 2 , G 1 et G 2 .
Soit Q un point quelconque.
Le point G, centre de masse du système = 1 ∪ 2 de masse m = m 1 + m 2 , est le
barycentre des points G 1 et G 2 affectés de leurs masses respectives m 1 et m 2 et il vérifie la relation
m
−→
QG = m 1
−→
QG 1 + m 2
− − →
QG 2
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On peut échanger l’ordre de la dérivée
et de l’intégrale !
Certaines de ces propriétés sont
démontrées en exercice.
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f (P, t) est une fonction quelconque,
soit scalaire, soit vectorielle.
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