Cette recherche met en évidence que seule la valeur de l’excentricité e intervient dans la loi de transformation de mouvement.
3. On écrit l’équation de fermeture cinématique
V(3/1) − V(2/1) + V(2/3) = O
Cette équation se détaille à partir des éléments de réduction :
• composition des vecteurs rotation ;
˙
γ
y 1 − ˙
α z 1 + ˙
θ
y 3 + ˙
ϕ z 2 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point C.
˙
λ y 1 + e sin α ˙
γ z 1 − e ˙
α
x 2 + u 23
x 3 + w 23 z 3 =
0
On exprime ces équations vectorielles dans la base
( x 1 ,
y 1 , z 1 ) et on adopte une écriture matricielle
0
0
0 0 0
0
0
1
0
1 0 0
0
0
0
−1
0 1 0
0
0
0
−e cos α 0 0 0
cos γ
sin γ
0
−e sin α 0 0 1
0
0
e sin α
0
0 0 0 − sin γ
cos γ
˙
γ
˙
α
˙
θ
˙
ϕ
˙
λ
u 23
w 23
=
0
0
0
0
0
0
Deux constatations s’imposent :
• la première ligne de la matrice ne comporte que des termes
nuls, le rang de ce système d’équations est donc inférieur ou
égal à cinq ;
• en enlevant la première ligne et les deux premières
colonnes, le déterminant extrait n’est pas nul.
1 0 0
0
0
0 1 0
0
0
0 0 0
cos γ
sin γ
0 0 1
0
0
0 0 0 − sin γ
cos γ
= 0
Comme le rang du système d’équations précédent est égal à
5, on en déduit les valeurs des degrés de mobilité et de statisme
m = 2
h = 1
Les deux inconnues principales qui ont permis le calcul du
rang donnent les deux mouvements indépendants à imaginer :
• la rotation du piston autour de l’axe (B,
y 3 ) qui est libre ;
• la rotation de l’excentrique par rapport au bâti qui correspond à la fonction mécanique souhaitée.
La contrainte géométrique apparaît dans la chaîne fermée en
rotation autour de
x 1 . Aucune liaison ne permet effectivement
cette rotation.
4. Le paramétrage initial ayant été mené sans simplification
géométrique anticipée, les modifications ne concernent que le
coulisseau 3 pour les invariants et les liaisons issues de ce
solide pour les variables :
• concernant le paramétrage géométrique, on pose
z 3 =
y 3 ∧ ∧
v 3
y 3 ∧ ∧
v 3
ce qui permet de caractériser l’angle ε entre les vecteurs
y 3
et
v 3
41
z 3
x 3
y 3
u 3
v 3
ε
cet angle ε est pour ce modèle le deuxième invariant explicite concernant ce mécanisme, et il est défini sur le coulisseau 3 ;
• concernant la liaison pivot glissant, rien ne change ;
• concernant la liaison cylindre-plan, on reprend les mêmes
caractéristiques en substituant
u 3 à
x 3 ,
v 3 à
y 3 .
V(2/3) = C
˙
θ
v 3 + ˙
ϕ z 2
u 23
u 3 + w 23 z 3
v 3
z 3
u 3
z 2
v 3 z 2
z 2
v 3 z 2
v 3
x 2
y 2
θ
∧
∧
ϕ
5. L’ajout de l’angle ε modifie les expressions issues de la
fermeture cinématique :
• composition des vecteurs rotation ;
˙
γ
y 1 − ˙
α z 1 + ˙
θ
v 3 + ˙
ϕ z 2 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point C.
˙
λ y 1 + e sin α ˙
γ z 1 − e ˙
α
x 2 + u 23
u 3 + w 23 z 3 =
0
On adopte également l’écriture matricielle pour exprimer ces
deux équations dans la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 )
0
0
− sin ε cos γ 0 0
0
0
1
0
cos ε
0 0
0
0
0
−1
sin ε sin γ
1 0
0
0
0
−e cos α
0
0 0
cos γ cos ε
sin γ
0
−e sin α
0
0 1
sin ε
0
e sin α
0
0
0 0 − sin γ cos ε cos γ
˙
γ
˙
α
˙
θ
˙
ϕ
˙
λ
u 23
w 23
=
0
0
0
0
0
0
Il n’y a plus de ligne de zéros. On enlève la deuxième colonne pour évaluer le déterminant
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 41
3. On écrit l’équation de fermeture cinématique
V(3/1) − V(2/1) + V(2/3) = O
Cette équation se détaille à partir des éléments de réduction :
• composition des vecteurs rotation ;
˙
γ
y 1 − ˙
α z 1 + ˙
θ
y 3 + ˙
ϕ z 2 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point C.
˙
λ y 1 + e sin α ˙
γ z 1 − e ˙
α
x 2 + u 23
x 3 + w 23 z 3 =
0
On exprime ces équations vectorielles dans la base
( x 1 ,
y 1 , z 1 ) et on adopte une écriture matricielle
0
0
0 0 0
0
0
1
0
1 0 0
0
0
0
−1
0 1 0
0
0
0
−e cos α 0 0 0
cos γ
sin γ
0
−e sin α 0 0 1
0
0
e sin α
0
0 0 0 − sin γ
cos γ
˙
γ
˙
α
˙
θ
˙
ϕ
˙
λ
u 23
w 23
=
0
0
0
0
0
0
Deux constatations s’imposent :
• la première ligne de la matrice ne comporte que des termes
nuls, le rang de ce système d’équations est donc inférieur ou
égal à cinq ;
• en enlevant la première ligne et les deux premières
colonnes, le déterminant extrait n’est pas nul.
1 0 0
0
0
0 1 0
0
0
0 0 0
cos γ
sin γ
0 0 1
0
0
0 0 0 − sin γ
cos γ
= 0
Comme le rang du système d’équations précédent est égal à
5, on en déduit les valeurs des degrés de mobilité et de statisme
m = 2
h = 1
Les deux inconnues principales qui ont permis le calcul du
rang donnent les deux mouvements indépendants à imaginer :
• la rotation du piston autour de l’axe (B,
y 3 ) qui est libre ;
• la rotation de l’excentrique par rapport au bâti qui correspond à la fonction mécanique souhaitée.
La contrainte géométrique apparaît dans la chaîne fermée en
rotation autour de
x 1 . Aucune liaison ne permet effectivement
cette rotation.
4. Le paramétrage initial ayant été mené sans simplification
géométrique anticipée, les modifications ne concernent que le
coulisseau 3 pour les invariants et les liaisons issues de ce
solide pour les variables :
• concernant le paramétrage géométrique, on pose
z 3 =
y 3 ∧ ∧
v 3
y 3 ∧ ∧
v 3
ce qui permet de caractériser l’angle ε entre les vecteurs
y 3
et
v 3
41
z 3
x 3
y 3
u 3
v 3
ε
cet angle ε est pour ce modèle le deuxième invariant explicite concernant ce mécanisme, et il est défini sur le coulisseau 3 ;
• concernant la liaison pivot glissant, rien ne change ;
• concernant la liaison cylindre-plan, on reprend les mêmes
caractéristiques en substituant
u 3 à
x 3 ,
v 3 à
y 3 .
V(2/3) = C
˙
θ
v 3 + ˙
ϕ z 2
u 23
u 3 + w 23 z 3
v 3
z 3
u 3
z 2
v 3 z 2
z 2
v 3 z 2
v 3
x 2
y 2
θ
∧
∧
ϕ
5. L’ajout de l’angle ε modifie les expressions issues de la
fermeture cinématique :
• composition des vecteurs rotation ;
˙
γ
y 1 − ˙
α z 1 + ˙
θ
v 3 + ˙
ϕ z 2 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point C.
˙
λ y 1 + e sin α ˙
γ z 1 − e ˙
α
x 2 + u 23
u 3 + w 23 z 3 =
0
On adopte également l’écriture matricielle pour exprimer ces
deux équations dans la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 )
0
0
− sin ε cos γ 0 0
0
0
1
0
cos ε
0 0
0
0
0
−1
sin ε sin γ
1 0
0
0
0
−e cos α
0
0 0
cos γ cos ε
sin γ
0
−e sin α
0
0 1
sin ε
0
e sin α
0
0
0 0 − sin γ cos ε cos γ
˙
γ
˙
α
˙
θ
˙
ϕ
˙
λ
u 23
w 23
=
0
0
0
0
0
0
Il n’y a plus de ligne de zéros. On enlève la deuxième colonne pour évaluer le déterminant
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 41