0
0
−1 cos α − sin α
0
0
0 − sin γ
0
sin α
cos α
0
0
1
cos γ
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
R sin α
−1
0 λ cos γ
0
0
0
−R cos α
0
0 λ sin γ
0
0
R
0
0
˙
α
˙
β
˙
γ
p 32
q 32
r 32
˙
λ
=
0
0
0
0
0
0
Comme le mouvement moteur souhaité est la rotation de la
manivelle 2 par rapport au bâti 1, on étudie le déterminant
6 × 6 en enlevant la première colonne
0
−1 cos α − sin α
0
0
− sin γ
0
sin α
cos α
0
0
cos γ
0
0
0
1
0
0
0
0
0
R sin α
−1
λ cos γ
0
0
0
−R cos α
0
λ sin γ
0
0
R
0
0
Le calcul fait apparaître le terme sin α en facteur de la valeur
du déterminant. Ce calcul est à poursuivre pour réaliser que
le déterminant est non nul en général, sauf lorsque les points
O , A et B sont alignés. On constate que dans cette position,
les deux pièces 3 et 4 peuvent effectivement tourner librement autour de l’axe (O, x 1 ).
6. Cette étude permet de montrer qu’une même structure peut
être isostatique ou hyperstatique suivant les positions relatives des différentes pièces.
Dans le cas présent, la solution proposée n’est pas satisfaisante, car la configuration dans laquelle les points O , A et B
sont alignés ne peut être évitée.
1. On commence par tracer le graphe des liaisons
et pivot glissant ne posent pas de problème
V(2/1) = A
˙
α z 1
0
V(3/1) = A
˙
γ
y 1
˙
λ y 1
40
1.11
1
2
3
P ( z 1 )
PG ( y 1 )
Cy ( z 2 )Pl (y 3 )
P
Pivot
PG
Pivot glissant
CyPl Cylindre-Plan
Cette structure comporte une chaîne fermée de trois solides et
on dénombre 7 degrés de liberté. On calcule un indice de
mobilité I c − E c = 1 et on en déduit de suite
m − h = 1
m 1
h 0
Ce mécanisme admet au moins un mouvement.
2. Paramétrer ce mécanisme consiste à caractériser variables
et invariants.
Variables cinématiques et paramètres géométriques associés
On pose les trois torseurs pour identifier les sept variables
cinématiques. Avec les données de l’énoncé, les liaisons pivot
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
y 1 = y 3
z 1
x 1
z 3
x 3
α
γ
La liaison cylindre-plan mérite une plus grande attention. Elle
autorise :
• deux rotations, la première autour de
y 3 , la seconde autour
de z 2 ;
• les deux translations dans le plan ( z 3 ,
x 3 ).
On pose alors deux angles en s’inspirant des angles d’EULER,
de manière à avoir les deux rotations qui se composent
V(2/3) = C
˙
θ
y 3 + ˙
ϕ z 2
u 23
x 3 + w 23 z 3
y 3
z 3
x 3
z 2
y 3 z 2
z 2
y 3 z 2
y 3
x 2
y 2
θ
ϕ
∧
∧
Les sept variables cinématiques sont alors ˙
γ, ˙
α , ˙
θ , ˙
ϕ , ˙
λ, u 23 et
w 23 .
Invariants géométriques
• On trouve sur 1 une droite et une demi-droite sécantes au
point A et perpendiculaires ;
z 1
x 1
y 1
A 1
• on trouve sur l’excentrique une droite et une demi-droite
parallèles distantes de e et on pose
− →
AC = e
y 2 ;
z 2
x 2
y 2
C 2
A 2
e
• on trouve sur le piston 3 une droite perpendiculaire à un
plan.
y 3
A 3
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 40
0
0
−1 cos α − sin α
0
0
0 − sin γ
0
sin α
cos α
0
0
1
cos γ
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
R sin α
−1
0 λ cos γ
0
0
0
−R cos α
0
0 λ sin γ
0
0
R
0
0
˙
α
˙
β
˙
γ
p 32
q 32
r 32
˙
λ
=
0
0
0
0
0
0
Comme le mouvement moteur souhaité est la rotation de la
manivelle 2 par rapport au bâti 1, on étudie le déterminant
6 × 6 en enlevant la première colonne
0
−1 cos α − sin α
0
0
− sin γ
0
sin α
cos α
0
0
cos γ
0
0
0
1
0
0
0
0
0
R sin α
−1
λ cos γ
0
0
0
−R cos α
0
λ sin γ
0
0
R
0
0
Le calcul fait apparaître le terme sin α en facteur de la valeur
du déterminant. Ce calcul est à poursuivre pour réaliser que
le déterminant est non nul en général, sauf lorsque les points
O , A et B sont alignés. On constate que dans cette position,
les deux pièces 3 et 4 peuvent effectivement tourner librement autour de l’axe (O, x 1 ).
6. Cette étude permet de montrer qu’une même structure peut
être isostatique ou hyperstatique suivant les positions relatives des différentes pièces.
Dans le cas présent, la solution proposée n’est pas satisfaisante, car la configuration dans laquelle les points O , A et B
sont alignés ne peut être évitée.
1. On commence par tracer le graphe des liaisons
et pivot glissant ne posent pas de problème
V(2/1) = A
˙
α z 1
0
V(3/1) = A
˙
γ
y 1
˙
λ y 1
40
1.11
1
2
3
P ( z 1 )
PG ( y 1 )
Cy ( z 2 )Pl (y 3 )
P
Pivot
PG
Pivot glissant
CyPl Cylindre-Plan
Cette structure comporte une chaîne fermée de trois solides et
on dénombre 7 degrés de liberté. On calcule un indice de
mobilité I c − E c = 1 et on en déduit de suite
m − h = 1
m 1
h 0
Ce mécanisme admet au moins un mouvement.
2. Paramétrer ce mécanisme consiste à caractériser variables
et invariants.
Variables cinématiques et paramètres géométriques associés
On pose les trois torseurs pour identifier les sept variables
cinématiques. Avec les données de l’énoncé, les liaisons pivot
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
y 1 = y 3
z 1
x 1
z 3
x 3
α
γ
La liaison cylindre-plan mérite une plus grande attention. Elle
autorise :
• deux rotations, la première autour de
y 3 , la seconde autour
de z 2 ;
• les deux translations dans le plan ( z 3 ,
x 3 ).
On pose alors deux angles en s’inspirant des angles d’EULER,
de manière à avoir les deux rotations qui se composent
V(2/3) = C
˙
θ
y 3 + ˙
ϕ z 2
u 23
x 3 + w 23 z 3
y 3
z 3
x 3
z 2
y 3 z 2
z 2
y 3 z 2
y 3
x 2
y 2
θ
ϕ
∧
∧
Les sept variables cinématiques sont alors ˙
γ, ˙
α , ˙
θ , ˙
ϕ , ˙
λ, u 23 et
w 23 .
Invariants géométriques
• On trouve sur 1 une droite et une demi-droite sécantes au
point A et perpendiculaires ;
z 1
x 1
y 1
A 1
• on trouve sur l’excentrique une droite et une demi-droite
parallèles distantes de e et on pose
− →
AC = e
y 2 ;
z 2
x 2
y 2
C 2
A 2
e
• on trouve sur le piston 3 une droite perpendiculaire à un
plan.
y 3
A 3
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 40