On compte 5 inconnues cinématiques et on dispose de 6
équations scalaires. L’indice de mobilité vaut −1
I c − E c = −1
Avant même tout calcul, on sait que la structure est hyperstatique de degré supérieur ou égal à 1
m − h = −1
m 0
h 1
De plus, comme on souhaite constater la présence du mouvement correspondant à la fonction mécanique souhaitée, on
peut supposer la structure hyperstatique de degré supérieur
ou égal à 2
m − h = −1
m 1(ce nombre est souhaité, pas calculé !)
h 2
2. Il est nécessaire d’ajouter au sein de ce mécanisme au
moins 2 degrés de liberté, de manière à obtenir un indice de
mobilité d’au moins 1 :
• une translation suivant une des directions z i ;
• une rotation autour d’une des directions
y i .
Il est à noter que les degrés de liberté à ajouter n’ont a priori
rien de commun avec la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 ) .
3. On paramètre cette nouvelle structure.
Graphe des liaisons
V(2/1) = O
˙
α z 1
0
V(3/2) = A
(3/2)
0
V(4/1) = O
˙
γ
x 1
˙
λ x 1
V(3/4) = B
˙
β z 4
0
39
1
2
3
4
P ( z 1 )
S (A )
P ( z 4 )
PG ( x 1 )
P Pivot
PG Pivot glissant
S Sphérique
Le mécanisme comporte dans cette configuration 7 variables
cinématiques pour 6 équations, donc l’indice de mobilité
atteint la valeur souhaitée 1
I c − E c = 1
Invariants géométriques
L’analyse des sommets successifs permet les différentes propositions :
• le bâti 1 comporte une demi-droite et une droite sécantes au
point O , et perpendiculaires ;
• la manivelle 2 comporte un point A distant du rayon R
d’une demi-droite ;
−→
O A = R
x 2
• la bielle comporte un point A distant de la longueur L d’une
demi-droite ;
− →
AB = L
x 3
• le piston 4 comporte une demi-droite et une droite sécantes
au point B, et perpendiculaires.
Variables cinématiques
On écrit les quatre torseurs cinématiques de manière à poser
les sept inconnues scalaires, en s’appuyant sur les éléments
géométriques déjà mis en place
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
x 1 = x 4
y 1
z 1
y 4
z 4
z 4 = z 3
x 4
y 4
x 3
y 3
α
γ
β
De plus, le paramètre géométrique associé à la variable cinématique ˙
λ est caractérisé par le vecteur
−→
O B = λ x 1 .
4. Le schéma cinématique est tracé dans le plan demandé,
sans oublier de commencer par reporter toutes les caractéristiques géométriques mises en évidence lors du paramétrage
de la question précédente
x 1
y 1
x 2
x 3
1
2
3
4
O
A
B
α
β
5. On écrit l’équation de fermeture cinématique
−V(3/4) + V(3/2) + V(2/1) − V(4/1) = O
On détaille cette équation à partir des éléments de réduction
des torseurs :
• composition des vecteurs rotations ;
− ˙
β z 4 +
(3/2) + ˙
α z 1 − ˙
γ
x 1 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point O .
− ˙
β z 4 ∧
−→
B O
(a)
+
(3/2) ∧
−→
AO
(b)
− ˙
λ x 1 =
0
On effectue les calculs nécessaires :
• concernant le terme (a), une simple substitution suffit pour
aboutir ;
˙
β z 4 ∧
−→
O B = ˙
β z 4 ∧ λ x 1 = ˙
βλ y 4
• concernant le terme (b), on constate que le vecteur
−→
O A est
suivant
x 2 et on pose alors
(3/2) = p 32
x 2 + q 32
y 2 + r 32 z 2
pour effectuer le produit vectoriel
−→
O A ∧
(3/2) = q 32 R z 2 − r 32 R
y 2
On exprime ces équations vectorielles dans la base
( x 1 ,
y 1 , z 1 ) et on adopte une écriture matricielle
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équations scalaires. L’indice de mobilité vaut −1
I c − E c = −1
Avant même tout calcul, on sait que la structure est hyperstatique de degré supérieur ou égal à 1
m − h = −1
m 0
h 1
De plus, comme on souhaite constater la présence du mouvement correspondant à la fonction mécanique souhaitée, on
peut supposer la structure hyperstatique de degré supérieur
ou égal à 2
m − h = −1
m 1(ce nombre est souhaité, pas calculé !)
h 2
2. Il est nécessaire d’ajouter au sein de ce mécanisme au
moins 2 degrés de liberté, de manière à obtenir un indice de
mobilité d’au moins 1 :
• une translation suivant une des directions z i ;
• une rotation autour d’une des directions
y i .
Il est à noter que les degrés de liberté à ajouter n’ont a priori
rien de commun avec la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 ) .
3. On paramètre cette nouvelle structure.
Graphe des liaisons
V(2/1) = O
˙
α z 1
0
V(3/2) = A
(3/2)
0
V(4/1) = O
˙
γ
x 1
˙
λ x 1
V(3/4) = B
˙
β z 4
0
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1
2
3
4
P ( z 1 )
S (A )
P ( z 4 )
PG ( x 1 )
P Pivot
PG Pivot glissant
S Sphérique
Le mécanisme comporte dans cette configuration 7 variables
cinématiques pour 6 équations, donc l’indice de mobilité
atteint la valeur souhaitée 1
I c − E c = 1
Invariants géométriques
L’analyse des sommets successifs permet les différentes propositions :
• le bâti 1 comporte une demi-droite et une droite sécantes au
point O , et perpendiculaires ;
• la manivelle 2 comporte un point A distant du rayon R
d’une demi-droite ;
−→
O A = R
x 2
• la bielle comporte un point A distant de la longueur L d’une
demi-droite ;
− →
AB = L
x 3
• le piston 4 comporte une demi-droite et une droite sécantes
au point B, et perpendiculaires.
Variables cinématiques
On écrit les quatre torseurs cinématiques de manière à poser
les sept inconnues scalaires, en s’appuyant sur les éléments
géométriques déjà mis en place
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
x 1 = x 4
y 1
z 1
y 4
z 4
z 4 = z 3
x 4
y 4
x 3
y 3
α
γ
β
De plus, le paramètre géométrique associé à la variable cinématique ˙
λ est caractérisé par le vecteur
−→
O B = λ x 1 .
4. Le schéma cinématique est tracé dans le plan demandé,
sans oublier de commencer par reporter toutes les caractéristiques géométriques mises en évidence lors du paramétrage
de la question précédente
x 1
y 1
x 2
x 3
1
2
3
4
O
A
B
α
β
5. On écrit l’équation de fermeture cinématique
−V(3/4) + V(3/2) + V(2/1) − V(4/1) = O
On détaille cette équation à partir des éléments de réduction
des torseurs :
• composition des vecteurs rotations ;
− ˙
β z 4 +
(3/2) + ˙
α z 1 − ˙
γ
x 1 =
0
• composition des vecteurs vitesse au point O .
− ˙
β z 4 ∧
−→
B O
(a)
+
(3/2) ∧
−→
AO
(b)
− ˙
λ x 1 =
0
On effectue les calculs nécessaires :
• concernant le terme (a), une simple substitution suffit pour
aboutir ;
˙
β z 4 ∧
−→
O B = ˙
β z 4 ∧ λ x 1 = ˙
βλ y 4
• concernant le terme (b), on constate que le vecteur
−→
O A est
suivant
x 2 et on pose alors
(3/2) = p 32
x 2 + q 32
y 2 + r 32 z 2
pour effectuer le produit vectoriel
−→
O A ∧
(3/2) = q 32 R z 2 − r 32 R
y 2
On exprime ces équations vectorielles dans la base
( x 1 ,
y 1 , z 1 ) et on adopte une écriture matricielle
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