1. Ce mécanisme comporte onze pièces et douze liaisons.
• on en déduit la disponibilité de douze équations ;
E c = 6µ = 12
• on pose n c (ε) le nombre d’inconnues cinématiques pour le
contact au niveau des pignons et on obtient alors
I c = 4 + 2n c (ε)
• comme étudié au chapitre 4 de l’ouvrage de première année,
un train épicycloïdal admet sous cette forme deux mouvements indépendants. On souhaite en conséquence un indice
de mobilité de valeur 2 ;
I c − E c = m − h = 2
• on en déduit le nombre de degrés de liberté nécessaire au
niveau du contact entre les dentures.
n c (ε) =
2 + 12 − 4
2
= 5
En conclusion, il est nécessaire d’avoir un seul point de
contact au niveau des engrenages pour espérer obtenir une
structure isostatique.
2. On suppose un seul point de contact par engrenage, la présence de trois satellites et on reste sur une approche cinématique.
Ajouter un satellite augmente le nombre de sommets d’une
unité et le nombre d’arcs de trois unités.
38
1.8
1
2
5
6
11
3
7
8
4
9
10
G
G
G
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P Pivot
G Glissière
2. On dénombre alors douze degrés de liberté et deux cycles
indépendants, soit un indice de mobilité nul
I c − E c = 0
3. L’actionneur 2 se translate suivant
x par rapport au bâti :
• toutes les rotations de la chaîne ouverte 2 − 5 − 6 − 11 sont
orientées suivant
x : la translation de 2 par rapport à 1
entraîne alors celle de 11 par rapport à 1 ;
• les rotations autorisées par les deux autres chaînes
3 − 7 − 8 − 11 et 4 − 9 − 10 − 11 sont compatibles avec
le mouvement généré et empÍchent de plus toute autre translation.
4. On réalise alors que les actionneurs pilotent directement et
indépendamment les translations du poignet 11 par rapport au
bâti 1.
Tx Ty Tz
2
3
4
5. On imagine alors au moins ces trois mouvements indépendants pour le mécanisme et on propose
m − h = 0
m 3
h 3
Cette structure est probablement hyperstatique de degré 3.
Exercices
d’approfondissement
1. On trace le graphe des liaisons pour un train à un seul satellite.
1.9
1
4
3
0
2
P
P
P
P
P Pivot
Engrenage
ε
ε
ε
On procède à une approche cinématique pour énoncer les propositions suivantes :
• cette structure comporte deux chaînes fermées ;
µ = N L − N P + 1 = 2
2
P
3
1
4 i
ε
ε
Ajouter un satellite augmente alors le nombre d’équations de
douze unités et le nombre d’inconnues de onze unités.
Pour un mécanisme à trois satellites, on dénombre alors :
• pour les équations E c = 36 ;
• pour les inconnues I c = 36.
On en déduit un indice de mobilité nul.
I c − E c = 0
De par la symétrie du montage des satellites, il est difficile de
concevoir une structure rigide, et la structure est hyperstatique, même avec l’hypothèse d’un seul point de contact par
engrenage.
On peut supposer un degré de mobilité égal à 2 et en conséquence un degré de statisme de même valeur 2.
m − h = 0
m = 2
h = 2
Bielle-manivelle
1. Le graphe des liaisons comporte une chaîne fermée composée de 4 sommets et de 4 arcs
1.10
1
2
3
4
P
P
P
PG
P Pivot
PG Pivot glissant
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• on en déduit la disponibilité de douze équations ;
E c = 6µ = 12
• on pose n c (ε) le nombre d’inconnues cinématiques pour le
contact au niveau des pignons et on obtient alors
I c = 4 + 2n c (ε)
• comme étudié au chapitre 4 de l’ouvrage de première année,
un train épicycloïdal admet sous cette forme deux mouvements indépendants. On souhaite en conséquence un indice
de mobilité de valeur 2 ;
I c − E c = m − h = 2
• on en déduit le nombre de degrés de liberté nécessaire au
niveau du contact entre les dentures.
n c (ε) =
2 + 12 − 4
2
= 5
En conclusion, il est nécessaire d’avoir un seul point de
contact au niveau des engrenages pour espérer obtenir une
structure isostatique.
2. On suppose un seul point de contact par engrenage, la présence de trois satellites et on reste sur une approche cinématique.
Ajouter un satellite augmente le nombre de sommets d’une
unité et le nombre d’arcs de trois unités.
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G
G
G
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P Pivot
G Glissière
2. On dénombre alors douze degrés de liberté et deux cycles
indépendants, soit un indice de mobilité nul
I c − E c = 0
3. L’actionneur 2 se translate suivant
x par rapport au bâti :
• toutes les rotations de la chaîne ouverte 2 − 5 − 6 − 11 sont
orientées suivant
x : la translation de 2 par rapport à 1
entraîne alors celle de 11 par rapport à 1 ;
• les rotations autorisées par les deux autres chaînes
3 − 7 − 8 − 11 et 4 − 9 − 10 − 11 sont compatibles avec
le mouvement généré et empÍchent de plus toute autre translation.
4. On réalise alors que les actionneurs pilotent directement et
indépendamment les translations du poignet 11 par rapport au
bâti 1.
Tx Ty Tz
2
3
4
5. On imagine alors au moins ces trois mouvements indépendants pour le mécanisme et on propose
m − h = 0
m 3
h 3
Cette structure est probablement hyperstatique de degré 3.
Exercices
d’approfondissement
1. On trace le graphe des liaisons pour un train à un seul satellite.
1.9
1
4
3
0
2
P
P
P
P
P Pivot
Engrenage
ε
ε
ε
On procède à une approche cinématique pour énoncer les propositions suivantes :
• cette structure comporte deux chaînes fermées ;
µ = N L − N P + 1 = 2
2
P
3
1
4 i
ε
ε
Ajouter un satellite augmente alors le nombre d’équations de
douze unités et le nombre d’inconnues de onze unités.
Pour un mécanisme à trois satellites, on dénombre alors :
• pour les équations E c = 36 ;
• pour les inconnues I c = 36.
On en déduit un indice de mobilité nul.
I c − E c = 0
De par la symétrie du montage des satellites, il est difficile de
concevoir une structure rigide, et la structure est hyperstatique, même avec l’hypothèse d’un seul point de contact par
engrenage.
On peut supposer un degré de mobilité égal à 2 et en conséquence un degré de statisme de même valeur 2.
m − h = 0
m = 2
h = 2
Bielle-manivelle
1. Le graphe des liaisons comporte une chaîne fermée composée de 4 sommets et de 4 arcs
1.10
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2
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4
P
P
P
PG
P Pivot
PG Pivot glissant
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